左と右は似たような問題だと思うのですが、z=x+yi

数学

高校生

解決済み

10ヶ月前

左と右は似たような問題だと思うのですが、z=x+yi とおいてとくときと、両辺を二乗してとくときの違いなどはありますでしょうか？🙇🏻‍♀️

例題次の方程式を満たす点z 全体の集合は,どのような図形か。 6 2|z|=|z+3| 解答方程式の両辺を2乗すると 4|z|=|z+3|2 よって 4zz=(z+3)(z+3) すなわち 4zz=(z+3)(z+3) z+3=z+3 右辺を展開して整理すると 22-2-2=3 式を変形すると (z-1)(x-1)=4 すなわちよって (z-1) (z-1)=4 z-1=z-1 |z-1|=22 したがって |z-1|=2 これは,点1を中心とする半径20円である。

第1章練習問題 12」複素数平面上で,次の条件を満たす点zは,どのような図形を描くか. (1) |-4|=|2-2i| (2) |-1|=√2 精講複素数々の条件式が与えられたとき,その条件を満たすようなぇの集まりは,複素数平面上で, ある図形をなします。その図形を知る 1つの方法は, z=x+yi (x,y は実数)とおいて、条件をx,yの関係式に書き直してしまうことです. ただし,条件式の図形的な意味を考えれば,式に頼らずに答えを導ける場合もあります。解答 (1) z=x+yi(x,y は実数) とすれば ||24|=|z-2i| | (x-4)+gi|=|r+(y-2)i √(x-4)² + y²=√x²+(y-2)² yy=2x-3/ P(z) 48 B(2i) (x-4)'+y2=x2+(y-2)2 0 展開して整理すれば, A(4) 2x-y-3=0 すなわち y=2x-3 -3 よって、はー3i を通る傾き2の直線を描く。

複素数平面

回答

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木村【医塾】～受験の専門医によるオンライン個別指導塾～

10ヶ月前

左はzの係数がずれている（左辺が2で右辺が1）ので円になります。
そのため、どんな円かを明らかにするため2乗して計算して求めています。
もちろんz=x+yiを入れても求めることはできますよ。直交座標で出てしまいますが。※画像参照
右の(1)は左右のzの係数が1なので垂直二等分線になります。
zと点4までの距離がzと2iまでの距離と等しいと言っていますので。
これで図は書けますが、直線の式（xとyの式）を出したければz=x+yiを入れて求めれば良いです。
入試レベルであれば、式変形や図形的な考察で対応できない→最終手段でz=x+yiでゴリ押す
という感じで使います。計算が面倒なのでなるべく使いたくないけど他の方法がないなら仕方ない、、、という感じですね。
（2）は円だとわかるのでわざわざz=x+yiを代入しなくて良いかなとは思います。（求められますが）

れもん 10ヶ月前

分かりやすいです!回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️！

左の問題は、zの係数がずれていたらなぜ円になるのでしょうか🙏🏻

木村【医塾】～受験の専門医によるオンライン個別指導塾～ 10ヶ月前

絶対値は距離を表しますよね？
左の問題は、原点からzまでの距離と-3からzまでの距離の比が1:2になっています。（なので、等式だと左に2がついてますね）
こうした2定点から距離が等しい点の集合（軌跡）は円になります（アポロニウスの円で検索してみると良いかも？）
ただし、比率が1:1の場合は線分の垂直二等分線になります。
これが右の(1)ですね。
なので両辺のzの係数が同じ→垂直二等分線
係数が違う→2定点からの距離の比が等しい（そして1:1ではない）から円
と分かります。