Question

ざん

(3)の問題が分かりません
詳しく解説して頂きたいです

5.算と余り>
整式(x)x1で割ると1余り, (x+1) で割ると 3x+2余る。
(1) P(x) をx+1で割ったときの余りを求めよ。
(2) P(x) を (x-1)(x+1) で割ったときの余りを求めよ。
(3) P(x) を (x-1)(x+1)で割ったときの余りを求めよ。
[22 早稲田大・社会科学
1-

5 整式の割り算と余り>
割り算の問題
(1) 1次式で割ったときの余り 剰余の定理を利用
剰余の定理
等式 A =BQ+R を利用
整式P(x) を1次式x-αで割ったときの余りはP(α)
4-
D. 2
ゆえ
(3) P(x) を (x-1)(x+1)で割ったときの余りをR (x) とすると, P(x) を (x+1で割っ
ときの余りは,R(x) を (x+1)2で割ったときの余りに等しい。
(1) P(x) を (x+1)で割ったときの商をQ(x) とおくと
P(x)=(x+1)2Q(x)+3x+2
<<-A=BQ+R
よっ
4
数学重要問題集 (文系)

と表される。 よって
P(-1)=3x(-1)+2--1----
剰余の定理により、求める余りは -1
(2) P(x) を (x-1)(x+1)で割ったときの商をQ(x),余りをx+ 次式で割ったときの余り
(a,bは定数) とおくと
表される。
P(x)=(x-1)(x+1)Q2(x)+ax+b
①より P(-1)=-1であるから
-a+b=-1.....
ば、以下の
a+b=1
P(x) を x-1で割ると1余るから
ゆえに
P(1)=1
(3
② ③ を解いて
a=1,b=0
よって, 求める余りは XC
(3) P(x) を (x-1)(x+1)2で割ったときの商をQs(x), 余りをR(x)
(R(x)は2次以下の整式) とおくと
と表される。
P(x)=(x-1)(x+1)2Q3(x)+R(x)
P(x) を (x+1)2で割った余りと, R(x) を (x+1)2で割った余りは
等しいから一
と表される。
R(x)=c(x+1)2 +3x+2 (cは定数)
よって P(x)=(x-1)(x+1)2Q3(x)+c(x+1)+3.x+2
P(1) =1であるから c×22+3×1+2=1
したがって c=-1
このとき R(x)=-(x+1)2+3x+2=-x'+x+1
3次式で割ったときの
は、以下の
ゆえに, 求める余りは
-x2+x+1

Answer 1

りつ

難しくかんがえなくてOKです。
要は、例えば7＝2×3＋1の式において、7を2で割った時の余りと、1を2で割った時の余りは同じだよねって話です。2×3は2の倍数なので、こうやって7を分解した時余りを考えるなら1を2で割るだけでいいですよね。7≡1（mod2）という感じで。もちろん、この１の部分が3であれ5であれ結果は同じです。

今回、Pxを分解すると（x＋1）^2で割れる部分とRxに分かれていますよね。同じように考えてみてください！

ざん

再びすみません
なぜP(x)を(x+1)²で割った余りはR(x)を(x+1)²で割ったときの余りに等しいと分かるのですか

りつ

Rxを定数cを使って表した式をみると分かりやすいです。（x -1）（x＋1）^2Qxは当然（x＋1）^2で割りきれますよね。しかしPxには余りが存在すると書かれています。ということは残りのRxとPxの余りが等しくなければ式は成立しません。文字があるので煩雑に見えますが、割り算を分解しているだけです。

ざん

ありがとうございました！