Question

げすと1

(2)についてです。
回答には相加相乗平均が用いられていますが、相加相乗平均でわかるのはtの取りうる値が2以上に限定されることであって、tが2以上のすべての実数をとりうるかどうかはわからないのと思います。そのため、(2)の回答に用いることはできないと私は考えたのですが、どうなんでしょうか。
回答よろしくお願いします。

316 第5章 指数関数と対数関数
Think
例題160 指数関数の最大・最小 (2)
****
関数 y=(4*+4¯*)-2a (2'+2) +1 について、 次の問いに答えよ.
Q(1)2+2=t とおいて,yをtの関数で表せ.
(2)のとり得る値の範囲を求めよ.
○(3)yの最小値が10のとき αの値を求めよ.
考え方 (1) = (2')', 4'=(2x)より,
a+b= (a+b)-2ab を利用して変形する.
(2) 相加平均相乗平均の関係を利用する。」
(3)(1)(2)より与えられた関数は,
tについての2次関数になって
いる.
との関係
(a>0, x:実数)
axXa=1
(相加平均) ≧ (相乗平均)
a+bzab (a>06>0 のとき)
2
解合
(1) 2'+2x=t のとき,
4'+4¯*= (2*)+(2^*)2
=(2'+2x)2-2.2.2 =f-2
より y=f-2-2at+1=t-2at-1
(2)20,20 より 相加平均・相乗平均の関係
から、
2*+2*2/2.2* =2
等号は, 2*2*より、x=-xつまり、x=0 の
とき成り立つ.
よって, tの値の範囲は,
(3) (1)より,
(i) a <2 のとき
a+b2=(a+b)2-2.
2.2=1
相加平均・相乗平均の
関係を利用する.
a+b
2
-√ab
より,a+b2ab
軸は直線t=α より
軸と区間 t≧2 の位
関係から場合分けを
る.
(i) (i) のときのグラ
は下の図のように
t≧2
y=f-2at-1=(t-α)-α-1 ...... ①
t=2 のとき, yは最小値10 をとる.
13
2-2a・2-1=-10 より a=
4
これは, a<2を満たさない.
(ii) α≧2 のとき
(i)
t=α のとき,y は最小値10 をとる.
したがって, ① より - a²-1=-10
2=9 より, a=±3
1
a 2
a≧2より, a=3
よって, (i), (ii)より 求めるαの値は,
a=3
a
最小
練習
[160]
xは実数とする。このとき、関数y=-
10
(3*+3)-(9+9)-3
3
*** そのときのxの値を求めよ.
"最小
の最
(高島

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

a＝2^x＞0、b＝2^-x＞0だから、a+b＝t≧2√abより、
t≧2のすべての実数をとるから、相加相乗平均は使えるかと🙇

げすと1

相加相乗平均の関係の意味は、a+bは2√ab以上の値しか取らない（2√ab以上のすべての実数を取るとは断言してない）だと思っているのですが違うのでしょうか。(相加相乗平均の証明方法的に)

🍇こつぶ🐡

a＞0,b＞0ですから、a+bは全ての実数で成り立つのでは🙇

げすと1

「a+bは全ての実数で成り立つのでは」
a＋bはすべての実数を取りうるということですか？

🍇こつぶ🐡

全ての実数は違うね。失礼しました。
a＞0,b＞0だから、a+bは、a+b≧2√abになる実数で成り立つ。

等号成立はa＝bのとき。
a＜0,b＜0は条件を満たさないから、全ての実数という言い方はまずかったね。

ただ、a+b＞0の実数では成り立つから相加相乗平均は使えるかと思います🙇

🍇こつぶ🐡

グラフで書くと、0以上でこの関数は連続だから、
a＝2^x＞0、b＝2^-x＞0の部分の実数値を取りますよ。最小値は2ですね🙇

げすと1

なるほど、よくわかりました！
では写真のようなf(x),g(x)がすべての実数を取らなくf(x)×g(x)=1（定数）となるような2つの関数の和s=f(x)+g(x)の値域は2≦sとはならない(∵f(x),g(x)はともにすべての実数をとるわけではない)ということですか？

🍇こつぶ🐡

h(x)は＞0の部分でグラフを見ると最小値が2で、グラフはf(x)とg(x)が連続ですから、同じように＞0の全ての実数になれるのではないでしょうか🙇

げすと1

0.5<f(x)≦3/2かつ2/3<g(x)≦2なのでsは全ての実数は取らないと思います。

🍇こつぶ🐡

ああ、漸近線があるんですね。
最小値2は言えますよね。

ただ、yの値は漸近線があるから無限大にはならず収束しますが、
xの値はずっと連続だから、h(x)のxは＞0の全ての実数は取るかと思います🙇

Answer 2

和

基本的に、あなたの理解がまったくもって正しいです
相加相乗の不等式だけでは、
「2以上の範囲をくまなく動けること」は示せません

厳密には、微分して示すことになります

ただ、この単元、この程度の定期テスト/入試問題では、
このような答案で満点となるのが普通です
言われてみれば変な話ですが、
高校数学にはいろいろと限界点があるので、
仕方のないことでもあります