Question

星光

次の(2)の様な問題でいちいち場合分けしませんよね？極限が得意な人はどの様にして解きますか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

次の数列の極限を調べよ。
(1) {n²-5n}
-1)"n-1
(2)
3n+1
不定形
(1) n→∞ のとき, ∞-∞となる。 ← 8-8=0とし
00
→∞x (定数),
・などの形になるように変形する。
(定数)
(2) /(-1)* を含むから,
1 (n: 偶数)･･･ (ア)
⇒(-1)” :
\n→∞ を考えにくい
1 (n:奇数)･･･ (イ)
and
a2
and (7) az
a4 46
04
a6
ag
n
0
a7
a5
a5 ar
a3
Cas
a₁ (1)
a1
1
(1) n²-5n =n11-
Action》 数列の極限は, lim-
= n² (1-5)
=0 を利用せよ
n
n
ここで, n→∞のとき
n² →
→∞, 1-
52
1
よって
lim (n² - 5n) = limn² (1-5)
||
8
(2)(n=2m (mは自然数)のとき
n→∞ のとき
となり
(−1)"n-1
(-1)2m・2m-1
lim
lim
n→∞ 3n+1
m→∞
6m+1
1
2
2m-1
m
lim
lim
004W
6m+1 M-00
1
6+
m
||
1-3
(イ)n=2m-1 (mは自然数)のとき
∞ となり
n→∞ のとき
(−1)"n-1
lim
= lim
3n+1
001
(-1)2m-1(2m-1)-1
3(2m-1)+1
-2m
-2
=
lim
lim
00+
6m- -2
m→∞
6
12m
13

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

いいえ、場合分けしてちゃんと示すのが普通かと思います
数学は基本的にそういうもので、
感覚がすべてではありません
少なくとも、答案は本来「説明するもの」なので…

答えだけでよいのであれば、分母分子をnで割って
分子……(-1)ⁿ -(1/n)
分母……3 +(1/n)
nが十分大きいと、(-1)ⁿや3に比べて
1/nは無視できるレベルで、
主要な部分は(-1)ⁿ/3ということになります
(-1)ⁿ/3は明らかに振動します（教科書の例レベル）

変に慣れてしまうと、
分子は(-1)ⁿがあるから振動で、
分子は∞だから、全体としては0に収束かな、
とか間違ってしまったりします

「ちゃんとやれる」ようになることが先です

星光

理解できました！有り難う御座います！