Question

くるみ

二次方程式の質問です
解の一つである1と-1の時を考えるのはなぜですか？解説を読んでもよくわかりません

214
重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3)
00000
*Fix€x²+{2_a}x+4=2a=0&t=1 <x<10>}{}\
解答
をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
128, 1
指針 条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに注意。
大きく分けて次のA B の2つの場合がある。
A-1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解は2つと考える)
® -1 <x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ
方程式の2つの解をα, β (α≦β) として,それぞれの場合につ
いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。
®は以下の4つの場合がありうるので注意する。
® [2]
+
a 1
B
x
または
a
-1<x<1 の範囲に1つ,
<-1 または 1<x の範囲に1つ
x= 2
である。
+
81 x
® [3]
A [1]
+
1<x<1
の範囲に2つ
® [4]
a=―1
+
+
1 x
x=-1と1<x<1
の範囲に1つ
-1 a
B=1
x=1と1<x<1
の範囲に1つ
2-a
x=-
2-1
204
a3
①~④の共通範囲を求
21 解の1つが1<x
(-a+3)(-
または1<xにあるため
ゆえに
よって
(a-3)(3a
[3] 解の1つがx=
(-1)=0から
このとき、方程式は
よって (x+1)(x
ゆえに,解はx=-
[4] 解の1つがx=1
f(1)=0 から
このとき、方程式
よって (x-1)
ゆえに、解はx=-
求めるαの値の範囲
2≦a<
f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式 f(x) =0 の
判別式をDとする。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線
a-2
[1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条
件は,y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異
なる2点で交わる, または接することである。
すなわち,次の (i)~ (iv) が同時に成り立つことである。
(i) D≧ 0 (ii) 軸が-1<x<1の範囲にある
(iii) f(-1)>0
(iv) f (1) > 0
(i) D=(2-α)-4・1・(4−2a)
=a+4a-12=(a+6)(a-2)
D≧0 から
(a+6)(a-2)≥0
ゆえに am-6,2≦a
......
①
(x=472 について -1<> 2 <1
よって
ゆえに
-2<a-2<2
0<a<4
......
②
(i) f(-1)=-a+3であるから
よって a <3
条件は
「少なくとも1つ」
であるから,y=f(x
定数分離による解法
この問題は、方程式
もう)、2つのグラフが
ONE Bx²+(2-a)x
方程式(*)が一
y=x^2+2x+4..
が1<x<1の
と同じである
2点(2,
②が点(-1,
②がと
グラフがx軸に接する
場合,すなわち, D=
の場合も含まれる。
[1]
-a+3>0
8-1
軸
ID=0
ついて D=0
図からa>0,
la=2のとき
よって、①
は、グラフカ
130 つような定
方程式

215
3章
3
12次不等式
000
つの実
とに注意
(iv) f(1)=-3a+7であるから -3a+7>0
</
よって a<
①~④の共通範囲を求めて
7
2
-1-
-6
0 273 4 a
2≤a < 1
3
[2]解の1つが-1<x<1にあり,他の解が x <-1
[2]
または1<xにあるための条件は f(-1)f(1)<0
ゆえに (-a+3)(-3a+7) <0
+
+
1x
-1
x-1
1
よって
(a-3)(3a-7)<0
ゆえにくく
0
T
3
または
1<x<l
範囲に2つ
[3] 解の1つがx=-1のとき
[3] a=3
f(-1) = 0 から
]
-α+3=0 ゆえに a=3
このとき, 方程式は x2-x2=0
よって
(x+1)(x-2)=0
x
B=1
ゆえに,解はx=-1, 2となり,条件を満たさない。
[4] 解の1つがx=1のとき
-1
2
[4] a=
7
とく
f(1) = 0 から
-3a+7=0 ゆえに a=
3
範囲に1つ
このとき, 方程式は
よって
3x²-x-2=0
x
(x-1)(3x+2)=0
ゆえに,解はx=-1/23,1となり,条件を満たす。
[4]
art [1][2]-
求めるαの値の範囲は,[1], [2], [4] の結果を合わせて
2
7
3
3
2≦a<3
-a
-1
dt
4N
定数分離による解法
検討
[PLUS
ONE
こも1つ
(*) を変形して
別解 x2+(2-α)x+4-2a=0••••••
ら、y=
軸に抜
なわち、
と同じである。
含まれる
方程式(*)が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことは,放物線
y=x2+2x+4
②
が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの共有点をもつこと
②は点(-2,0)を通り,傾きαの直線である。
この問題は, 方程式を 「(αを含まない式) = (αを含む式)」の形に変形し (αを分離するとい
う),2つのグラフが共有点をもつ条件を求めることで解くこともできる。
......
① と直線 y=α(x+2)
と一
x2+2x+4=a(x+2)
......
②が点 (1,3)を通るとき
a=3
①
yA
77-8
②が①と1<x<1で接するとき, 解答の [1] のDに
ついてD=0から (a+6)(a-2)=0 ゆえに a=-62
図から α>0 すなわち α = 2 のとき適する。
a=2
-4
a=3
13
(a=2のとき, x=0の点で接する)
-2
よって、①と②-1<x<1の範囲に共有点をもつの
-10 1
x
は,グラフから 2≦a<3 のときである。
Ter
<q
③ 130 つような定数αの値の範囲を求めよ。
方程式x2+(a+2)x-a+1=0が2<x<0の範囲に少なくとも1つの実数解をも
[武庫川女子大 ]
of a

2次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みり

元々の方の範囲（-1＜x＜1）に＝がついていなくて、1または-1の上に解があっても「少なくとも１つの実数解をもつ」を満たせるからじゃないですかね？