Question

kamu

体積を求める方法を教えて下さい。お願いします。

次の曲線や直線で囲まれた部分をy軸の周りに
1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
y=-x4+2x12(x20)、x軸
(i) V=T
fdxd」を用いた場合
(ii) V=2tfxf(x)dxを用いた場合

積分 定積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

梓環

ざっとですが参考になれば
(付した紙面の方は補足程度に)

(i)いわゆる「正攻法」
回転させる前の曲線部をy=kで切断し、切り取られた線分をy軸周りに回転させます。(今回は穴の空いた円になりますね)
その図形は平面y=kにおける、求める立体の切断面です。
今回切断面の面積はS(k)=2π√1-k
と求められます。
積分範囲はS(k)の存在範囲であり、曲線部がy≧0で与えられていることと、(ルートの中身)≧0を踏まえて0≦k≦1と分かります。
求める体積はkの関数としてS(k)を積分したものであるので、∫S(k)dkを計算して答えは4/3πとなります。

(ii)いわゆる「バウムクーヘン積分」
回転させる前の曲線を短冊状の長方形に分割していき、それらをy軸周りに回転させたものの体積を考えると、(ii)の公式が得られます。グラフの概形から数値を公式に代入すると答えの4/3πが得られます。

kamu

ご丁寧にありがとうございます。

Answer 2

あ

y=-x^4+2x^2はx=√2でx軸と交わるので、
求める体積は、
V=π∫[0→√2](-x^4+2x^2)dx
=8√2π/15

梓環

x軸周りで計算していないですか？
問題はy軸周りと書いています。

あ

うわ見てませんでした。ご指摘ありがとうございます。