Question

とまと

［1］の条件は思いつくのですが、［2］と［3］の条件が自分ではなかなか思いつきません。こういうのは何回もこの問題を解くしかないのでしょうか？

8
重要 例題
関数とその逆関数のグラフの共有点(2)
00000
f(x)=x²-2x+k(x≧1) の逆関数をf'(x) とする。 y=f(x) のグラフと
|y=f'(x) のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数んの値の範囲を求めよ。
基本10
指針 逆関数f'(x) を求め, 方程式f(x)=f(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考え
てもよいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利
用して、次のように考えてみよう。
共有点の座標を (x, y) とすると, y=f(x) かつy=f-1 (x) である。
ここで,性質 y=f'(x)=x=f(y) に着目し,連立方程式 y=f(x), x=f(y)
が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x, yの範囲にも注意。
共有点の座標を (x, y) とすると
tv=
解答
y=f(x) かつy=f-1(x)
参考 y=x2-2x+kとす
ると
y=f-1(x) より x=f(y) であるから,次の連立方程式を考
よって
える。
y=x2-2x+k(x≧1)
①,
x=y2-2y+k(y≧1)
① ② から
y-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって (x-y)(x+y-1)=0
x1,y≧1であるから x+y-1≧1
ゆえに x=y
よって, 求める条件は, x=x²-2x+k すなわち
x2-3x+k=0が x≧1 の異なる2つの実数解をもつこと
である。 B
すなわち, g(x)=x2-3x+kとし, g(x) =0の判別式をD
こ
とすると、次のことが同時に成り立つ。
[1] D> 0
x2-2x+k-y= 0
x=1±√12-(k-y)
x≧1から
x=√y-k+1+1
xとyを入れ替えて,逆関
数は
f1(x)=√x-k+1 +1
A 逆関数f(x) の値域
は 関数 f(x)の定義域と
一致するから y≧1
B 放物線とx軸がx≧1
の範囲の異なる2点で交わ
る条件と同じ。
y
y=g(x)
[2] y=g(x) の軸がx>1の範囲にある
[3]g(1) 20
[1] D=(-3)2-4・1・k=9-4k
={(x)}(1)
9
よって 9-4k>0
ゆえに
k<
3
4
3
3
+
0
3
[2] 軸は直線 x =
x=1/2で12/28>1である。
[3]g(1)≧0から
12-3.1+k≧0
よって k≧2
4.
③④の共通範囲をとって
9
2≤k<-
(S) or N
4

数3 関数 逆関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

らい

軸x=3/2,下に凸の二次関数のグラフが、x≧1で異なる二つの実数解をもつとき、どのようなグラフになるかを考えて条件を出します。

判別式、軸の位置、端点の正負で解くことが多いですが、問題によってはこれだけで解くことができないものもあるので、毎回グラフを考えるべきです

とまと

分かりました！これからはこういう問題はきちんとグラフを描いてから条件を考えるようにします！ありがとうございました🙇🏻‍♀️