Question

s

下の問題を二枚目の写真のように解きました｡
このやり方だと，XとYの値が求めれなかったのですが，求め方はありますか？
また，解説のように解く方がいいですか？

その
基本 89
した
00000
実数x,yx+y2=2を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また、そのときのx,yの値を求めよ。
指針
[類 南山大 ] 基本101
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文
字を減らしても2x+yはx,yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで, 2x+y=t とおき,tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
←
2x+y=t を y=t-2x と変形し,x2+y2=2に代入してyを消
去すると x2+(t-2x) =2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
見方をかっ
CHART 最大 最小 =tとおいて,実数解をもつ条件利用
20
2x+y=t とおくと
y=t-2x
①
解答
これをx2+y2=2に代入すると
したがって
x2+(t-2x)=2
整理すると
次
5x2 -4tx+t2-2=0
自去す
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると
(+)=S+ツの不等式)。
(2)
D≧0
ここで
D=(2t)-5(2-2)=-(t-10)
D≧0から
参考実数a, b, x, yに
ついて,次の不等式が成り
立つ (コーシー・シュワル
CONCE(ax+by)≤(a+b)(x²+ y²)
[等号成立は ay=bx ]
この不等式に a=2,6=1
(を代入することで解くこと
できる。
t2-10≤0
フェ
これを解いて
-√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき, D=0で,②は重解 x=-
-4t_2t
を
のとき②は
t=±√10
2.5 5
もつ。=±√10 のとき
x=±
2/10 よって
5x2+4√10x+8=0
よってまたは
5
/10
①から
y=±
(複号同順)
5
よって x=
2/10
10
y=
のとき最大値10
主
ゆえに
2√2
2/10
x=±
=土・
5
√ 10
5
”
5
2/10
√10
x=-
5
"
y=-
のとき最小値√10
√5
①からy=土-
5
(複号同順)
5
としてもよい。
である。
たすとき
の

x4y² = 2 +4
Xisinとおき、cosとお
22'sin² O+ R cos20=2
sin²Octcos2d=1となる
2
2x ty
2√2 sin 0 + √2 cos 0
= √2. √5 sin (0+V)
+: sind = cos D= NS
-is sin (0+x) {
より
-√10≤ √osin (070) ≤ TO
10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ふつうとは違うおきかたですね
αの説明も変です
別解などの多様な考え方を広げていくのは
基礎を固めてからでないと、定着しにくいと思います

この問題は別解がたくさんありますが、
まずは模範解答の普通の解き方を確実にすることです

x=√2 cosθ, y=√2 sinθ（0≦θ<2π）とおくと

2x+y
=2√2 cosθ + √2 sinθ
=√10 sin(θ+α)……☆

ただしαは以下を満たす角
0≦α<π/2、sinα=2/√5、 cosα=1/√5

α≦θ+α<2π+αのもとでは、☆は
θ+α=π/2のとき最大値√10
このときx =√2 cosθ = √2 cos((π/2)-α) = √2 sinα
= 2√2/√5 = 2√10 /5
y = √2 sinθ = √2 sin((π/2)-α) = √2 cosα
= √2/√5 = √10 /5

θ+α=(3/2)πのとき最小値-√10
このときx =√2 cosθ = √2 cos ((3/2)π-α) = -√2 sinα
= -2√2/√5 = -2√10 /5
y =√2 sinθ = √2 sin ((3/2)π-α) = -√2 cosα
= -√2/√5 = -√10 /5

です

s

詳しい説明をありがとうございます！