Question

萌果

K+1の時に②の式に当てはめてないのはなぜですか？

内
3
265
a=3, (n+1)an+1=an2-1 によって定められる数列{a} の一
一般項を推測して, それが正しいことを数学的帰納法によって証明
せ。

a+b\k
2
ak+bk
(n+1)am+1=a2-1からロー
Plan2-1
+Djs=
an+1=-
n+1
<
2
a1=3から
Cas
abk-akb-bk+1
32-1
42-1
a2=
=4,
=5, + 1)
1+1
2+1
kb
52-1
(3)+(+1)
L
a4=
=6,
3+1
+
よって, an=n+2 ...... ① と推測される。
10k-3
0だから
①は成り立つ
ての整数
数学B
問題・演習問題
070-6707=1415
も, a≦bのときも 0
-=25
a+b\k+1
2
この推測が正しいことを 数学的帰納法によっ
て証明する。
[1] n=1のとき
=3であるから, ①は成り立つ。
SHUM
Tas
[2]n=kのとき,①が成り立つ, すなわち
②集
ーにも①は成り立つ。
数nについて①は
ak=k+2
と仮定する。
(合
14
n=k+1のときを考えると,②から
2
a²-1 (k+2)2-12
する。
辺) =21.1=2
(S)
立つ, すなわち
273
.... .(2k)
.(2k-1)
+
②
について考える
=
ak+1
k+1
k+1
k2 + 4k +3
=
k+1
(k+1)(k+3)
2014-10-02
k+12
0
Jets J
=k+3=(k+ 1) + 2
すると
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。
したがって an=n+2
D
a+b (
友定する

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

aₖ₊₁=(k+1)+2とするということですか？
当てはめられないからです

①がもしもn=kのときに成り立つとしたら
①がn=k+1のときにも成り立つことを示します
つまりn=k+1のときに成り立つかどうかはまだわかっていません

勝手にkをk+1に書き換えるとか、
nをk+1に書き換えるとか、そういうことはできません

萌果

an+1＝の式にｋを当てはめるってことですか？

和

2枚目の2行目のaₙ₊₁=(aₙ²-1)/(n+1)にkを当てはめる、
ということでしたら、その通りです

・①がk=n+1のときに成り立つことを示します
つまり、aₖ₊₁=(k+1)+2が成り立つことを示します

・この際、aₙ₊₁=(aₙ²-1)/(n+1)は使えます
nに1,2,3,…やkやk+1やn+1などを
代入することができます

・また、①がk=nのときを仮定しているので、
この式、つまりaₖ=k+2であることは使えます
しかし、それは「aₖをk+2に書き換える」使い方であって、
「aₖ=k+2の両辺のkをk+1に書き換えてaₖ₊₁=(k+1)+2とする」
という使い方はできません

萌果

なるほど！ありがとうございます！

Answer 2

そら

②が成り立つ、と仮定して、計算した結果②がk+1の時も成り立つから②は成り立つ、という証明をしたいからです。