Question

松野千冬

この解説の前半がよくわからないのでもっと詳しくわかりやすい解説を求めてます！
特にf(x+1)-f(x)
　　=a(x+1)ⁿ+b(x+1)ⁿ⁻¹+･･･-(axⁿ+bxⁿ⁻¹+･･･)
　から
　　=anxⁿ⁻¹+g(x)
となるところがよくわからないです

重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
00000
多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0) = 1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
〔一橋大〕
基本15
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax+bx-1+......(a≠0,n≧1) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺2.x と比較するこ
とで次数nと係数αを求める。
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
5
基本
解答
f(x)=1|この場合は,(*)に含ま
れないため、別に考えて
f(x) = c(cは定数) とすると, f (0)=1から
いる。
これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bx-1+(a0n≧1)(*) とす
ると
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"'+.....-(ax+bx"-1+…………)
=anxn-1+g(x)
ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最
高次の項を比較して
(x+1)"
=x+nCixn-1+nCzx-2+...
のうち,
a(x+1)"-ax” の最高次
の項は anx-1 で,残り
の項はn-2次以下とな
る。
n-1=1
... ①, an=2
①から
n=2
ゆえに、②から
a=1
c=1
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
anx-1と2xの次数と
係数を比較。
またf(x+1)-f(x)=(x+1)2+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
=2x+6+1
結果は同じ
よって
2x+b+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
b+1=0
係数比較法。
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
POINT 次数が不明の多項式は,次と仮定して進めるのも有効

等式 恒等式 一橋大

Answer 1

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SAIZIN

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Answer 2

和

二項定理で展開します
手を動かすことが大事です