Question

ちづ

(2)で私はx=nから始めたのですが答えがどうしても合いません。nではダメなのでしょうか。教えて頂きたいです🙇

254
重要 例題 161
面積と数列の和の極限①①①①①
曲線 y=ex をCとする。
・cos21.
(1) C上の点P(0, 1) における接線とx軸との交点を Q とし,Qを通りx
軸に垂直な直線とCとの交点をP2とする。Cおよび2つの線分 PiQ1,
QP2 で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(2)自然数nに対して, PrからQn, Pn+1 を次のように定める。C上の点P
における接線とx軸との交点をQn とし, Qn を通りx軸に垂直な直線と C
との交点をP1 とする。 Cおよび2つの線分 PQ QnPn+1 で囲まれる部
分の面積Sを求めよ。
00
n,
たが、
(3) 無限級数ΣSnの和を求めよ。
[類 長岡技科大 ]
n=1
基本153
CHART & SOLUTION
(1) 曲線 y=f(x) 上のx=αの点における接線の方程式は
y-f(a)=f'(a)(x-a)
面積S1 は, 0 を原点として
曲が
をしている区間
=2
(Cおよび3つの線分P10, OQ1, QiP2 で囲まれる部分) (OPQ)
と考えると求めやすい。
(2) Pr(an,e-an) とすると, 点P" における接線とx軸との交点のx座標, すなわち, 点 Q
のx座標が、点P+1 の x 座標 α+1 と等しいことから, 数列{a} の2項間漸化式を作る
ことができる。
これから一般項 αn が求まり, (1) と同様に定積分を計算することで、面積Sを求めるこ
とができる。
(3) 数列 {Sn} は等比数列となるから、無限等比級数の和を考えることになる。
常に
y20
解答
A-CO
-sin2=ipint-asin
(1)
-x
y = e¯x 5 v' ==-x
ib
VA
20, cos
から

(161)
(1)
Date
C: y ex
(上の点P(0.1)における接線ドニーゼ y=(x-0)+1
Q1 (110)
x=1とy=exの交点P2(1,2)
S = S' (ex + x - 1 ) d x
=
y = -x+1
[-exx]-2-1+1
|
56
=
(2) Ph(n, e") y = = e^(x-n) + en
n
(1071)
=- ex+(n+1)en
0 = -en x + (n+ljen
x= n+1
2
++
Qn (n+1, 0) Pnti (n+l, eth+i))
Sn = Sn (ex + e^x-(n+1)e^) dx
1
=
=
-n
n+1
[- ex + x² (n+1)e^x]"
-ntl
=e
+
-n
e-n
2
-
" (n+1)² - (n+1)² en ten en²+(ntinen
-n
2
n
2
(1-e) en (n+1)² - ^^ e^" + (n`injen
(1-e - (n²+an+l) - n + n + n)e^
(172n+1)
+n+n)
(-e--+le"
(-e) e-n

255
(2) Pr(an, e-an) とすると,点P, における接線の方程式は
y-e-an-e-an (x-an)
y=0 とすると
to-e-an-e-an (x-an)
e-an≠0 であるから
1=x-an
よって x=an+1
ゆえに点Qnの座標は
Qn(an+1,0)
sat
←y-f(a)=f'(a)(x-a)
P.
ST
S+1
P+1
P+2
Q-1
Qn
an
-1- anti
1 Qn+1 x
QnとPn+1 の x 座標は等しいから
an+1=an+1
数列{an} は,初項 α1=0, 公差1の等差数列であるから
an=0+(n-1)・1=n-1
よって Sn=dx-121{n-(n-1)}.e-(n-1)
Pn+1 (an+1, e-an+1) であ
る。
初項 α, 公差dの等差数
列の一般項は
an=a+(n-1)d
In-1 2
e
n-1
In
=
1
-n+1
1
e
2
=-e-nte-n+1_- -n+1
=-e¯"+ -n+1
-n
e
=e" (-1+e)
--2--
2
NA (1)
(+25
(3)(1),(2) から, 無限級数 22S, は,初項-2,公比 12の
1/
2e
n=1
初項α, 公比rの無限等
比級数は, ||<1 のとき
収束し, その和Sは
=X
無限等比級数である。
+X)=(XX) S
公について
であるから収束して,その和は
e-2
8
2ee-2
S
ΣSn
n=1
1
2(e-1)
e
+
=(-
(1-2) (+)-=yb
a
6章
18
面積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

Pₙのx座標はnではありません
これが正しいとすると、
P₁のx座標は1ということになってしまいます

ちづ

確かにそうですね。ありがとうございます🙇