Question

ミッフィー

解説お願いします。

-4
右図のような五角形 OABCD において,
OA=OB=OC=OD=1,
ZAOB=<BOC=<COD=0 (0<<)
C
F
で, E, F はそれぞれ線分AD と線分 OB, OC の
交点である。 このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) 三角形 OEF の面積S(0) を sin 0, cos 0で表せ。
E
B
(2) S(0) が最大となるときの cos の値を求めよ。
A

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tsuduren

あまり上手くできてないかもです
答え違ってたらごめんなさい

ミッフィー

ありがとうございます！

GDO

Fのy座標は、OF×sin(θ/2)なので（OF=2cosθ-1)
答えに2cosθ-1を乗じることになります
ご確認ください

Tsuduren

全然違ってたので修正になります
GDOさんの回答を書き起こしただけですが、正しいと思いますのでこちらをご参照ください

Answer 2

GDO

(1) S(θ)=OE×OF×sinθで求めようと思う
　計算ミスしてたらごめんなさい

△OAB≡△OBC≡△OCDの二等辺三角形であり、
点A,B,C,Dは中心Oとした円に内接している（半径1）
　∠DABはθ（円周角=中心角÷2)
　△OABは二等辺三角形
　よって△OAB∽△ABE（…AB=AE）
三角形の相似(△OAB∽△ABE)より
OA:AB=AB:BE→1:AB=AB:BE
→AB²=BE
　AB²=OC²+OB²-2OC・OB・cosθ=2-2cosθ（余弦定理）

OE=OB-BE=1-(2-2cosθ)=2cosθ-1
OE=OF(説明省略：二等辺三角形)

△OEFの面積S(θ)は
S(θ)=OE×OF×sinθ
　=sinθ(2cosθ-1)²
　=sinθ(2cosθ-1)²

(2) S(θ)=sinθ(2cosθ-1)²
dS(θ)/dθ=cosθ(2cosθ-1)²-4sin²θ(2cosθ-1)
　=(2cosθ-1){cosθ(2cosθ-1)-4(1-cos²θ)}
　=(2cosθ-1)(6cos²θ-cosθ-4)
＜途中省略＞
cosθ=(1+√97}/12のときに最大
ーーーーー
cosθで微分(dS(θ)/dcosθ)した方が分かりやすいかもしれません

GDO

面積計算で÷2を忘れてました🙇‍♂️

ミッフィー

ありがとうございます！