Question

数学むずすぎくん

丸で囲んだ所の解法について、
基本例題は普通に解けました、ですが練習問題だとは正しい答えは出せません。
どうしてでしょうか。

h
これ
係数と
fla-
絶対値を含む不等式の場合分けをしない解法
f(x)
以下では,第2章 「集合と命題」 の内容も含むため、その学習後に読むことを推奨する。
||x|<c-c<x<c
絶対値を含む不等式は、 場合に分けて解くのが大原則であるが, 例題41 (1)~(3)6 )
| | x/ > c = x <- c & fc<x
|A|<B⇔-B<A<B
次の不等式を解け。
(1) x-1|+2|x-3|≦11
(z)を微分するという. また.
基本 例題 42 絶対値を含む1次不等式 (2)
①①①①①
((1) 西南学院大, (2) 大阪経大)
(2)|x-7|+|x-8|<3
基本41
(1)
x-310
x-320
120円
指針 (1) 2つの絶対値記号内の式が0となるxの値は x=1,3
よって, x<1, 1≦x<3, 3≦xの3つの場合に分けて解く。
(2)2つの絶対値記号内の式が0となるxの値はx=7,8
よって, x<7, 7≦x<8, 8≦xの3つの場合に分けて解く。
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不等式の形によっては,
により、場合分けをしないで解くこともできる。
(cは正の定数)を利用す
ここでは、cが一般の文字式の場合、 つまり
x
Date
A>BAK-BまたはB<A
|x-4|=max (x-4, 4-x)
実数 α, bのうち大きい方 (厳密には小さくない方) を max (a,b)と表すと
⇒ max(ヌ-11-x)+2max(x-3.3-x)
例1 x-4/<3x⇔-3x<x-4<3x
<) max13x-7-x+5
・1-5-3x+7)=11
-lx-4|<3x max (x-4, 4-x)<3x
よって
一般に,xが実数のとき|x|=max (x, -x)である
(*)を示す。
⇔x-4<3x かつ 4-x<3x
x-4<3xx-4>-3x cas
⇔-3x<x-4 <3x
補足条件p: 「x-4|<3xかつ 3x≦0」, 条件g: 「-3x<x-4<3x かつ 3x≧0」 を満たす
体の集合はともに (空集合) である。
30の場合にも(*)は成り立つ。
例2 x-4>3x⇔x-4<-3x または 3x <x-4 ......
(空集合)は任意の集合の部分集合であるから, g, g⇒pはともに真とない
(**) を示す。
17.x-11+21x-31=11
max(+2(3)、X-1+213-x)、1-x+2(x-3)(x+2(3-x) ≦11)
4
3x-7311 かつ一が≦11かつ×5≒いかつ-3x+7≦11
27かつ
4
-6
16
X3-6かつ16から水3-3
4
ミカミワ
lx-4|>3xmax (x-4, 4-x)>3x
「a, bのうち大きい方よ
⇔x-4>3x または 4-x>3x
さい」とき,c<a<b,c<b
いう場合以外に,a<e<b
⇔x-4>3x または x-4<-3x
⇔x-4<-3x または 3x <x-4
b < c <a という場合がある。
[補足] 3x<0の場合, x-4>3%は常に成り立ち、 「x-4-3x または3x<x-4」も常に甘
立つ。 よって, 3x < 0 の場合にも(**)は成り立つ。
[参考] 絶対値を含む式が2つある場合について,上で紹介した記号 max を用いると
|A|+|B⇔max(A,-A)+max (B,-B)
max(A+B, A-B, -A+B,-A-B)
であるから,Cの正負に関係なく、次のことが成り立つ。
[A]+[B]<CA+B<C かつ A-B<Cかつ A+B<Cかつ-A-B<C
[A]+[B]>CA+B>CまたはABC または A+B>CまたはA-B>C
(2)1-7+12-81-3
max (7-7. 7-x) + max (x-8 8-X) <3
max(x-7+7-8、メー7+8-x、ワース+スー8、ワーメな火)<3.
max(2x-15,1,-1,-2x+15)<3
よって、
2x-15くろかつ1cろかつてくろ、かつ-2x+153
x9
かつ46
6 < x < 9.

(x-7)+(x-8)<3
不等式の解は
7≦x<8
[3] 8≦xのとき, 不等式は
よって
x<9
8≦xとの共通範囲は 8≦x<9
......
求める解は,①~③を合わせた範囲で
6<x<9
8
x
[3]
8
9
x
注意 (2) [2]のように、場合分けの範囲について不等式が常に成り立つことがある。また,
場合分けの範囲との共通範囲がない [練習 42 (1) 参照] こともある。
練習 次の不等式を解け。
[(1) 大阪産大, (2) 広島工大]
42 (1) x-5|=|x|+1
(2) x+2|-x-1>x

絶対値付き一次不等式

Answer 1

あ

同値変形でやるならこっちの方がオーソドックス
|x-1|+2|x-3|≦11…＊
⇔|x-1|≦11-2|x-3|
⇔-11+2|x-3|≦x-1≦11-2|x-3|
⇔(|x-3|≦(x+10)/2 ) …①∧ (|x-3|≦(-x+12)/2)…②
①⇔{-(x+10)/2≦x-3≦(x+10)/2 }
⇔-x-10≦2x-6≦x+10⇔-4/3≦x≦16
②⇔x-12≦2x-6≦-x+12⇔-6≦x≦6
ゆえに、
＊⇔(-4/3≦x≦16)∧(-6≦x≦6)⇔-4/3≦x≦6…(答)