Question

rei

(3)どうしてマーカー部分の式になるのか分かりません

336 多項式P(x) を (x-1)で割ったときの余りが4x-5で, x+2で割ったときの余りが4
ある。
(1) P(x) をx-1で割ったときの余りを求めよ。
P()を(火)で割ったときの商をQix)とする。
P(x)=(x+1)(x-1)Q1x)+4x-5
P1=4-5=-1
[類 山形大 ]
(2) P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。
P)を商をQ2(x)、あまりをax+bとする。
(2)=(x-1)(x+2)Q2(x)+ax+b.
911)=a+b=-1.
Pr2)=-2a+b=-4
これを解いて、
したがって、
x-2
a=1,b=-2
(3) P(x)(x-1)(x+2)で割ったときの余りを求めよ。
77

c(-3)+4(-2)-5=
ゆえに
C
a+β=-m, aβ=m+2
(1)③から
a2+B2=(a+β)2-2a
=(-m)-2(m+2)
P(-2)=-4から
よって 9c-13=-4
したがって, 求める余りは
(x-1)2+4x-5=x2+2x-4
=m2-2m-4=(m-1)2-5
別解 ①から
②の範囲における関数
P(-2)=(-2-1)2Q(-2)+4・(-2)-5
y=(m-1)2-5のグラフ
=9Q1(-2) -13
は右の図の実線部分で
P(-2)=-4から
901(-2)-13=-4
ある。
よって Q1(-2)=1
よって,
2+82 を最小
O
m
したがって,
とするの値は
2-2/3 1/2+2√3
-5
m=2-2√3
(2)③にα=2β を代入すると
3β=-m, 2β2=m+2
これらの式からβを消去して整理すると
2m2-9m-18=0
よって
(m-6)(2m+3) = 0
よって, 求める余りは
3
ゆえに m=-
6
-2'
これは②を満たす。
(3)③の2式からmを消去して整理すると
aβ+α+β-2=0
Q1(x)=(x+2)R(x) +1(R(x)は多項式)
と表される。これを①に代入して
P(x)=(x-1)^{(x+2)R(x) + 1) + 4x-5
=(x-1)(x+2)R(x)+(x-1)2+4.x-5
=(x-1)(x+2)R(x) + x2 +2x-4
x2+2x4
3371+iが解であるから
(1 + i) + (a + 2)(1 + i- (2a + 2)(1 + i?
+ (6+1)(1+i)+q=0
ここで
(1+i) = 1+2i+i=2i,
(1+i)=2i(1+i) =2i+2i=2i-L
(1+i) = (2i)?=4i2=-4
-4+ ( a +2)(2i-2)-(2a+2)・2i
よって (+1)(+1)=3
α, βが整数であるとき, α+1, β+1も整数で
ある。 αとしても一般性を失わないから
よって
(a+1,β+1)=(-3, -1),(1,3)
よって (α, β)=(-4, 2), (0,2)
このとき,mの値はそれぞれ
m=6, -2
これは②を満たす。
+(6+1)(1+i)+α =
整理して -2a+6-7+ (−2a+b+1i=0
a, b は実数であるから, α-2a+b-7,
2a + b + 1は実数である。
(1)(x) を (x-1)2で割ったときの商を
a3-2a+b-7=0
-2a+6+1=0
・①
a³-8=0
よって
P(1) =4・1-5=-1
a=32
Q1(x) とすると, 条件から
P(x)=(x-1)2Q(x)+4x-5
ゆえに, 求める余りは-1
(2)P(x) (x-1)(x+2) で割ったときの商を
Q2(x), 余りを ax + b とすると
P(x)=(x-1)(x+2)Q2(x)+ax+b
P(1)=-1,P(-2) = -4
よって a+b=-1, -2a+b=-4
(1) と条件から
これを解いて
a=1, 6=-2
ゆえに、求める余りは
x-2
(3)P(x)(x-1)(x+2)で割ったときの商を
Q3(x) とすると,余りは2次以下の多項式か 0 で
あり、更にP(x) (x-1)2で割ったときの余り
が4x-5であるから
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+c(x-1)^+4x-5
と表される。
ゆえに
①-② から
αは実数であるから
②から 6=2.2-1=13
このとき, 方程式は
x+4x3-6x2+4x+8=0
③の係数は実数であるから, 1+iを解にもつ
き, 1-iも解である。
③の左辺は{x-(1+i) { x- (1-i) すなわち
x²-2x+2で割り切れるから
(x2-2x+2)(x2+6x+4) = 0
x2+6x+4=0 を解くと
x=-35
以上から、4次方程式の他の解は
1-i, -3±√√5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

解答の最初の4行から
P(x) = (x-1)²(x+2) Q₃(x) +cx²+dx+e……☆
とおけます

一方、P(x)を(x-1)²で割った余りは4x-5なので、
実際☆を(x-1)²で割ると、
第1項(x-1)²(x+2) Q₃(x)は(x-1)²で割り切れるので、
第1項は余りに関係がありません
よって、第2項cx²+dx+eを(x-1)²で割った余りが
4x-5になります
したがって、cx²+dx+e = c (x-1)² +4x-5と表せます
（x²の係数が両辺で一致していることに注意）

例えるなら、100 = 11×8 +12において、
100を11で割った余りは
11×8 +12を11で割った余りに一致し、
それは（11×8が11で割り切れるから）
12を11で割った余りに一致する、
ということに似ています

rei

めっちゃわかりやすいです！ありがとうございます💞