Question

Y

数学　ベクトル
画像の⑵を教えていただきたいです。解説を見ても求め方がわかりません。
よろしくお願いいたします。

Oを原点とする空間上の3点 A, B, Cが,
|||=||=||=2, OA・OB=2,OBOC = を満たして
いるとき、次の(1),(2)の問いに答えよ。
(1) 内積OAOC がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) 四面体OABCの体積の最大値を求めよ。
解答 (1) 13 (1-2√6) OA・1/3(12/6)
(2) √6
9

(2) 四面体OABCの体積をVとすると,
V=1/2/3(LOAB)z
√3
△OAB=112.2.2. =Vより=1
2
3
3
よって, その最大値を求めればよい。
①より
² = 32-20
y=
32 より42
9
したがって, 求める最大値は
√√3 4√√2
V=
3
3
=116

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(2)あったの忘れてましたw

(1)から、cosα＝1/2なので、α＝π/3(60度)から、
△OABは正三角形であり、面積＝1/2×2×√3＝√3
三角錐OABCの底面をOABとすると、高さが最大になれば体積も最大になるので、そのようなときというのは、△OABと△OBCが直角になったとき。

(1)のβを用いると、
CからOBにおろした垂線の足をHとすると、
△COHは、∠O＝β、OC＝2の直角三角形になるので、
CH＝2sinβ＝2・2√2/3＝4√2/3
よって、体積＝1/3×√3×2sinβ
　＝1/3×√3×4√2/3＝4√6/9

Y

⑴に引き続きありがとうございます！！
底面と高さが垂直になるときに体積も最大になるっていうのは、この問題以外の四面体でも言えるのでしょうか…？

きらうる

場合によるかと思います。
今回の場合は、面OAB,面OBCは辺と角度は確定しているので、使うことができます。

Y

すみません！通知の不具合でお返事するのが遅れてしまいました…💦
今回は使えるのですね！丁寧に教えていただき、ありがとうございます…！