kは直前の式と直接関係しているのではなく、
「cos2t coskt (k≠2)の定積分は0になる」
と、(1)[4]の結論を(2)の求値式に照らして
もう一度言い直しているだけです
数学
高校生
(2)解答の下から4行目がわかりません。
cosktはどこからでてきたのでしょうか
N
3 1030Nを自然数とし,関数f(x) f(x) = cos(2kzx)と定める。
2
k=1
(1)mnを整数とするとき, Socos (mx) cos (nx)dx を求めよ。
(2) Scos (4πx) f(x)dx を求めよ。
[類 滋賀大] 127
2π
(1) I=)
cos (mx) cos (nx) dx z
m+n=0 のとき
1 = S²² 1/2 {(cos (m + n) x + cos (m—n)x)dx
Jo
2π
cos (m+n)x dx=dx=2π
0
1->
Fm, n
m+n=
2π
m+n=0 のとき
S2
cos(m+n)xdx=
sin(m+n)x12
=0 m-n=
2π
m+n 0
m-n=0 のとき
S² ²
2π
cos (m-n)xdx=dx=2
0
それぞれ
定積分
ておく
0
m-n=0 のとき Socos (m-n)xdx= [sin(m-n)x]
0
COS
=0
組み合
求める
したがって
226
[1] m+n=0 かつ m-n=0 すなわちm=n=0のとき
I -(2л+2л)=2π
[2] m+n=0 かつ m-n≠0 すなわち m≠0 かつ
m=-n のとき
=
1
2
=π
[3] m+n≠0 かつ m-n=0 すなわち m = n≠0のとき
1-(0+2)=x
[4] m+n0 かつm-n≠0 すなわち m キ±n のとき
1-(0+0)-0
N
xh
xnia+7.200 €
FG
(2) Scos (4xx) f(x) dx = cos(4x) cos (2kπx) dx
OS
k=1
b
2πx=t とおくと
1
dx= dt
2π
x
0 → 1
(1)
201
t
0 → 2π
うに積分
xtの対応は右のようになる。
N
よって SCOS(4πx) cos
cos (4xx)Σcos (2kлx) dx
k=1
1
2
cos (2t) cos (kt)-
cos (kt)dt
=S²
=
277 S²
2π
k=1
cos (2t){cost+cos(2t) + cos (3t)+
18
.....+cos (Nt)) dt
ここで,k≠2 のとき(1)の[4]に適するから
2л
2π S²
1 (2л
cos 2t cos kt dt=0 ?
k=2のとき (1) の [3] に適するから
2π S²
π
1
cos 2t cos 2t dt =
-
2π
2
COS
したがって Socos (4πx) cos(2kzx)dx=1/2
N
Σ
(x)
k=1
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