Question

るい

方程式x ^ 2（x＋1）＝2…①があり
があり、太郎さんと花子さんはこの方程式につい
て話している。
太郎：方程式①を解いてみよう。でも、3次方程式だから、解くのが少し大変そうだね。
花子：方程式①をx ^2（x＋1）=1 ^ 2・2と考えれば、実数解が1つ見つかるね。これを手がかりに、①を変形した方程式x ^ 2（x＋1）－2＝0の左辺を因数分解してみよう。
太郎：なるほど、因数分解できたら解けそうだね。　

⑴花子さんの発言から、方程式①は実数解x＝（ア）
をもつ。
これより、方程式①は（x−（ア））（イ）=0
と変形できる。

したがって、方程式①の解のうち、（ア）
以外のものはx＝（ウ）である。

（2）xの方程式　x ^2（x＋1）−k ^ 2（k＋1）＝0…②がある。ただしkは実数の定数である。
方程式②の左辺を因数分解せよ。また，方程式②が虚数解をもつとき、kのとり得る値の範囲を求めよ。

⑴（ア）（イ）（ウ）と（2）それぞれ解答よろしくお願い致します！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

tan_ⅰ

(1)花子さんは①にx=1を代入していることから、①は実数解x=1 (ア)をもちます。
高次方程式を用いると、P(x)=x²(x+1)-2=x³+x²-2とすると、
P(1)=0よりP(x)は(x-1)を因数に持つので、
P(x)=(x-1)(x²+2x+1)
このx²+2x+1(イ)はP(x)をx-1で割って筆算することで求められます。
よって(x-1)(x²+2x+1)=0
x=1の解はすでに出ているので、x²+2x+1=0
これを解くと、x=-1±i (ウ)

(2)②にx=kを代入すると左辺が0になることから、②はx=kを解に持ちます。先程と同様に高次方程式を用いると、Q(x)=x²(x+1)−k²(k+1)としたとき、
Q(x)=(x-k){x²+(1+k)x+(1+k)k}
よって②は、(x-k){x²+(1+k)x+(1+k)k}=0と変形できます。
解x=kは実数より、x²+(1+k)x+(1+k)k=0が虚数解を持つようなkの範囲を求めればいいので、x²+(1+k)x+(1+k)k=0の判別式をDとするとD＜0
D=(1+k)²-4(1+k)x=-3k²-2k+1＜0
よって3k²+2k-1=(3k-1)(k+1)＞0
したがってk＜-1、k＞1/3

るい

詳しく解答して頂きありがとうございました！
理解できました！