Question

詩

数Ⅱ　微分法
(2)番の解き方を教えていただきたいです🙏

fox) = ax³ +x²+ Cut of
7 次の条件を満たす3次関数 f(x) を求めよ。
(1) ƒ(0)=-1, ƒ(1)=2, f'(0) =4, f'(1)=1
(2) f(x)+xf'(x)=4x³-9x²+6x+1
(1)
d
(1) atbicto: 2
(3) C54
fx = 3² +264 +c
(4) F(1) = 3a+2b+c
ACD
Ja +26+0 = 1
ja
(2) {s at +b+c+d+ 3 ad² + 26x² +co
4073 + 3 bx² +20x+d
-96

Answer 1

えだまめ🫛

[方針]☘️
3次関数の4次導関数が0であることを用いて
3回微分して、f'''(x)を導出します🌱
あとは逆算してf(x)を求めます

f(x)+x･f'(x) = 4x³-9x²+6x+1 …①

両辺をxで微分すると
f'(x)+f'(x)+x･f''(x) = 12x²-18x+6
⇒ 2f'(x)+x･f''(x) = 12x²-18x+6 …②

さらに両辺をxで微分すると
2f''(x)+f''(x)+x･f'''(x) = 24x-18
⇒ 3f''(x)+x･f'''(x) = 24x-18 …③

さらに両辺をxで微分すると
3f'''(x)+f'''(x)+x･f''''(x) = 24
⇒ 4f'''(x) + x･f''''(x) = 24 …④

f(x)は3次関数であるから、f''''(x) = 0 🌱

これと④より　
4f'''(x) = 24 ∴ f'''(x) = 6

これと③より　
3f''(x)+6x = 24x-18
⇒ 3f''(x) = 18x-18 ∴f''(x) = 6x-6

これと②より
2f'(x)+x(6x-6) = 12x²-18x+6
⇒ 2f'(x) = 6x²-12x+6 ∴f'(x) = 3x²-6x+3

これと①より
f(x) + x(3x²-6x+3) = 4x³-9x²+6x+1
⇒ f(x) = x³-3x²+3x+1

よって　f(x) = x³-3x²+3x+1 🫛

えだまめ🫛

<別解>

[方針]☘️
{ x･f(x) }' = f(x)+xf'(x) を用いて
与式を積分します

f(x)+x･f'(x) = 4x³-9x²+6x+1 …①

両辺をxで積分すると
∫{ f(x)+x･f'(x) }dx = ∫{ 4x³-9x²+6x+1} dx
⇒ x･f(x) = x⁴ -3x³ + 3x² +x +C (Cは積分定数)

両辺をxで割って
f(x) = x³ -3x² + 3x +1 +C/x

f(x)は3次関数だから　C = 0

すなわち　f(x) = x³ -3x² + 3x +1