Question

うな

この問題の始めにある「f(x)を定数関数とすると〜よってf(x)をn次式としx^nの係数をaとする」の部分の作業がよくわかりません…どうしてこの作業が必要なのでしょうか？(>_<)

を求めよ。
を求めよ。
(2)(x+1)f(x)=2f(x)+4,f(0) =0を満たす整式で表された関数 f(x)
(0)
0= (D)\

(x+1)f'(x) =2f (x) +4 ... ① とおく。
f(x) を定数関数とすると,f(0) = 0 より f(x) = 0
(1)
均変化率が微分
f(x) が定数関数のと
き すべてのxについて
f(x)=f(0)
このとき、f'(x) = 0 となり,これは①を満たさない。
よって,f(x) をn次式(nは自然数)とし,x”の係数霊の
をa(a ≠0)とする。
このとき
(x+1)f'(x) はn次式であり,x” の係数は an
2f(x) +4 は n次式であり,x”の係数は 2a
よって, ① より an = 2a
a≠0 であるから n = 2
ゆえに、f(x)は2次式である。
f(x) = ax2+bx+c とすると f'(x) = 2ax+b
①にそれぞれ代入すると
(x+1)(2ax+b)=2(ax2+bx + c) + 4
整理すると (2a-b)x+(b-2c-4)=0
これがxについての恒等式であるから
ihA
f'(x) は (n-1) 次式であ
るから,(x+1)f'(x) は
n次式である。
f(x) = ax +.･･ より
f'(x) = anx"-1 + ...
半
$2
(S)
12a-b=0
2
16-2c-40
(3
また,f(0) = 0 より c = 0
(4)
係数を比較する。
② ③ ④ より a = 2,6=4,c = 0
したがって
f(x) = 2x2+4x
④ ③に代入すると
b=4
②に代入すると α = 2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

図に書きました
枠線内だけで話が完結すれば枠線のみでよいのですが、
f(x)が定数のときは枠線の話ができません
よって、定数のときとそうでないときで場合分けして書きます

うな

返信が遅くなり大変申し訳ございません😭
理解できました！わかりやすいご回答ありがとうございます😻✨