Question

moon

（２）の問題なんですが、3枚目の自分で解いた解答のやり方が解説にのっていないので、3枚目の私の解答はどこから間違っているか教えてくださるとありがたいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-68
(86)
第1章 数
列
例 B1.41 隣接3項間の漸化式(1)
考え方
次のように定義される数列{an} の一般項 am を求めよ。
(1) a=1, a2=2, an 2-2an+1-150=0
(2) a1=3, a2=5, an+2-30m+1+2a=0
(A) 特性方程式の解α, β が α β となる場合 (p. B1-67) である.
(1) An+2-2+1-150=0.･･･ ① が ax +2aaμ+1=βan+1 aan) .....②
たとする.
②より,
an+2-(a+β)an++αβam= 0
|a=5
[α = -3
これより,
α+β=2, aβ=-15 だから,
lβ=5
または
\B=-3
よって、②より
解答
とも
Jax+2+3am+1=5 (an+1+3a)
lan+2-5an+1=-3(an+1-5am)
これより,一般項 α を求めればよい.
(2)(A) aβにおいて,とくに α=1 となる特別な場合である。
つまり, an+2-3a+1+2a=0 は,
an+2-An+1=B(An+1-an)
となり, 数列{ant-am} は {an} の階差数列である。
mi
(1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の
考え方を使って解いてみよう.
~20x150=0
(1) authen
より
となる.
......①
an+2+3an+1=5 (an+1+3an)
lan+2-50+1=-3 (a+1-5a)
②より, 数列 {am+1+3am} は,
③
{a} の階
{anta
① より,-2F
wwww
(x+3)(x-5)=
よって, x=-1
α=-3,β=5
α=5,β=-3
{an+1+3a
初項 a2+3a1=2+3・1=5
公比 5
の等比数列であるから,
an+1+3a=5・5"'=5"
…④
a2+3a」(n=10)
③より, 数列 {an+1-5am} は,
初項 a2-5a=2-5・1=-3
公比3
の等比数列であるから,
a,+1-5a= (-3)(-3)"'=(-3)"...... ⑤
④ ⑤ より
3a-(-5am)=5"-(-3)"
8a=5"-(-3)"
④ ⑤から
去する.
よって、 求める一般項 α は,
_5"-(-3)"
an=
8

3
漸化式と数学的帰納法 (87)
B1-69
(2) +234+2a=0① より
an+2ax+1=2(an+1-am)
......②
b=a1-a とおくと, 数列 {bm} は数列{a} の階
差数列であり,②より
bm+1=26
つまり 数列{bm} は、
初項
b=a-a1=5-3=2
公比2
の等比数列であるから,
b=2.2"-1
したがって, n のとき,
an=a+Σbk
k=1
n-1
=3+2.2-1
k=1
①より 20
(x-1)(x-2)=0
より, x=1, 2
|α=1, β=2で考える。第1章
bm=2" とできるが,
N-1
1
bk を計算するので
b = 2.2" のままの方
が間違いが少なくなる.
{a} の階差数列{bm}
n≧2 のとき,
an=a1+2bk
k=1
2(2"-1-1)
=3+
2-1
=3+2(2"-'-1)
=2"+1
nol のとき,a=2′+1=3となり成り立つ.
mmm
よって, an=2"+1
Focus
|n=1のときを確認
隣接3項間の漸化式 an+2+pan++gan = 0 は,
隣接3項間の特性方程式 x+px+g=0の解α,β
を用いて, an+2aan+1=β(an+1一αan) と変形できる
注〉 例題 B1.41 (2)を(1)と同様に解くには, (α,β)=1221)の場合より
「an+2an+1=2 (an+1-α)
......2
lan+2-2ax+1=a+12a
.......③
として, a を求めればよい.
-注〉 例題 B1.41 では,特性方程式の解α, β が α キβの場合であった.
さらに,α=β=0 の場合をp.B1-72の例題 B1.42で学習する.
では,α,βが虚数解の場合はどうなるだろうか?
αβが虚数解でも解と係数の関係が成り立つので、同様にすると,
an = ka"-1+lβ"-1 (k, l は定数)
となる.
■次のように定義される数列{an}の一般項 α を求めよ.
7 (1) a=1, a2=3,4+2=54+1+6a
(2)a=1, a2=2, an+2=van+1 an

A412-300+1+2an=0
K2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0
X=2-1
41=3
02=5
San+2-2an+1=1 (anti-2ay 9
Out2-104+1 = 2(a1-194 ②
F1 Au-20u = (a12-2α₁) 1m
①より、
-
=
@811 Anti-an = (02-α1) 2^4
= 202"-1=2"
90
au = 1-2"

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

下から4行目が間違えてます。
　-1・1ⁿ⁻¹ = -1
です。
これで、解答と答えが一緒になるはずです。

moon

ありがとうございます！