Question

ve

数Ⅲ
写真の青線部分の意図と意味がよくわかりません。
ここでの「常に〜〜ではない」は、always not ○○ かnot always ○○でいうとどちらの意味でしょうか？
またこの一文はどのような役割をしていますか？

もう一つ、この問題文を見た時に「よし、積分を使って証明しよう♪」とは到底思い浮かばないのですが、これを思いつく方はどこを見てこの解法を思いつきますか？

重要 例題 249 数列の和の不等式の証明 (定積分の利用) 00000
は2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
7章
36
定積分と和の極限、不等式
3
log(n+1)<1+1/+1/27 +: + // <logn+1
n
基本 245,248
演習 254
指針 数列の和 1+ +
1 1
2 3
+...... +
は簡単な式で表されない。 そこで, 積分の助けを借りる。
n
すなわち, 曲線y=
1
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を
IC
証明する。
☑
解答
自然数んに対して, k≦x≦k+1のとき
y
x
1
1
1
1
I
VO
3k+1
x
k
式ア
常に
k+1
から
k
k+1
1
2112=1/2ではない
x
k+1dx
x
•k+1
k
k+1dx
dx Sk
1
k+1 dx
x
k
x
ck+1dx
よって
k+1
k XC
k
Ck+1 dx
x
k
0 123…nt
x
k
n-1 n+1
k+1
k
k+1
x
I
1
VIA:
k+1
n Ck+1
n k+1dx
k=1Jk
n+1
から
x k=1k
[** dx =f*** dx®-[10gx]"*
k=1Jk
x
1
= log(n+1)
であるから
log(n+1)<1+
式イ
A=1,2,…, nと
して辺々を加える。
[n+1
0 123… †n
x
B
=logx
n-1
© S² • + S²₂²
Cn+1
+･･･+
72
=S+
n+1
y=
1x
<
1
1k
+
2 3
+
n
Ck+1 dx
Cから
x
k+1
g h +1
k
=logx =logn であるから
[10gx]
ES** dx="dx =[log]=
x
x
n-1 1
k=1k+1
n_1k+1dx
①
<
①
k=1Jk
x
n
1 1
1
+ +......+
でん=1,2,…, n-1
として辺々を加える。
<logn
3
n
1 1
1
この不等式の両辺に1を加えて
+
+: ...+
<logn+1..
②
2
3
n
よって、①,② から, n≧2のとき
log(n+1)<1+
12
+
13
1
n
<logn+1

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

常に「〜でない」だと、
「1/k=1/xや1/(k+1)=1/xを満たすxが存在する」
という事実に反することは明らかなので、おかしいです
「常に〜」ではない、です

1/k=1/xや1/(k+1)=1/xが常に成り立つとしたら
赤字の不等式は≦で繋ぐことになります
そうでないから<に絞れるということです

そのうち慣れます
1/xの積分がlogであることや
公式が使えない数列の和は面積で評価する定石から
当たり前にできるようになります
下品な言い方ですが、
経験も浅いうちに思いつかないも糞もないです
そんなことを言っていたら数学はキリがないです

ve

ありがとうございます。
言われてみれば滑稽な質問でした🙇‍♀️
ということは、青線部分は証明の不等式に合わせるべく≦ではなく<で不等式を表すための一文という解釈でいいのでしょうか？

確かに公式が使えない数列の和を面積で評価する定石を知っていれば、思いつけそうです！まさにそういう着眼点を聞きたかったです。ありがとうございます🙇‍♀️

和

> 青線部分は証明の不等式に合わせるべく≦ではなく<で不等式を表すための一文という解釈でいいのでしょうか？

そう思います
≦の不等式がいえても、<の不等式をいうには
もう一山必要になりますので