Question

あずき

模範解答は2^(n+1)で割ってるんですけど、3^(n+1)で割って求めることはできないんですか、？
やっぱりこう言う問題はa(n)が入ってない項で割るのが早いですかね

数列{a} を次で定める。
a1=2, an+1=3a,+2"+1 (n=1, 2, ......)
an
このとき、極限 lim
を求めよ。
8
3"

4n+1=3am+2 +1 の両辺を2"+1で割ると
ax+1
3 a
2*+1=2*2" -+1
=
b. とおくと.41=20,+1
変形する
bm+1+2=12(0円+2)
またby+2=1/12/23 +2=1/28+2=3
よって、数列{b,+2) は初項3,公比 1/2の等比数列であるから ban+2=3-
したがって b=3-(1)-2
63.
=
より
.am=26m
2"
よって1/2=(1/2).
bx
したがって
13.
3年
818
lim ª² = lim (3)" {³· (²)"¯³ −2} = lim (2-2-(3)")=
=2
( 3 ) " -

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

3ⁿ⁺¹で割ってももちろんできます
というか、その後の極限を踏まえると、
その方が自然かもしれませんね
よい疑問だと思います

　aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹ = aₙ/3ⁿ + (2/3)ⁿ⁺¹
簡単のためaₙ/3ⁿ = bₙとおけば
　bₙ₊₁ = bₙ + (2/3)ⁿ⁺¹
です
これは(bₙ)の階差数列が((2/3)ⁿ⁺¹)であることを意味します
いつも通り
　n≧2のときbₙ = b₁ +Σ[k=1〜n-1] (2/3)ᵏ⁺¹
　……
と進めていけばできます
速さでいえば大差ないと思います
好き好きです

解法の事実上の指定や
共通テストなどで複数の解法の比較なども
ありうると思いますので、
いろいろやり方には慣れておいた方がよいかと思います

あずき

やはり階差型でもいけますよね。疑問が解決しました！ありがとうございます

Answer 2

はじめん

なんでそもそも2^(n+1)で割ってるか考えてみましょうか！元の漸化式を等比数列の公式使えるように変形したいから割るんです。だから3^(n+1)で割ったところで何にもならないんですよ…

そもそも等比数列型にする時の変形がn番目のものに公比をかけたらｎ＋１番目になるってのを意識するとこういう変形も可能です(写真参照)
自分はなるべく記述したくないのでこっちでいつもやってます笑

はじめん

修正:3^(n+1)で割って階差数列でやる気ならそれでも大丈夫ですね！失礼しました！ただ、個人的には係数を間違えがちなのであんまりおすすめはしません。あくまで個人的には、です

あずき

ありがとうございました！