Question

やんさん

69番の問題を新しい文字で置かずに解く方法はありますか
あったら教えていただけると助かります
よろしくお願いします

■ 18 第1章 平面上のベクトル
69
△ABCにおいて, AB=3,AC=2,∠A=60°,外心を0とする。 AB-6
ACC とするとき, AOをこを用いて表せ。
例題 7 △ABC の重心を G, O を任意の点とする。 このとき、 次の等式が成
り立つことを証明せよ。
OA-JOAP
OA'+OB'+OC=AG"+BG"+CG' +3OG*
AG-LOG-OAP-10CF+10AF-206-OÁ
解答 OA-G, OB-6. OC-c. OC-g とすると
3g=a+b+c
OA'+OB'+OC-(AG'+BG'+CG2+30G)
−làP+I&P+l¿P−là−at-lg-br-la-cr-3lar
--619F+29-(a+6+c)

18-
69 条件から
||=3,|=2,
1.cc =3x2cos60°=3
AO=sb+tc
ATO
ゆえに
A
60%
M
AN
よって
O
これは
(s, tは実数)
h
とおく。
B
C
辺ABの中点をMとする
|AO|
と、点0は△ ABC の外心であるから
OM⊥AB
よって
OM.AB=0
よっ
ゆえ
OM=AM-AO
-(so+te)
=(1/2-s) -ic
であるから(1/2)10
{( z − s)6 – tc} .b=0
ゆえに (12/23) 100
これに | =3,.c = 3 を代入して整理すると
6s+2t=3
......
①
辺 ACの中点をN とすると,点Oは△ABCの
外心であるから ON⊥AC
よって
ON.AC=0
ON-AN-AO
=-(sb+tc)
よっ
これ
①
しか
70
=
5+ (1/2 − t) c
であるから
HO
S+
: 0
80
ゆえに 56.c+ (12/21)=0
-sb-c+
これに=3=2を代入して整理すると
3s+4t=2 ...... 2
4
① ② を解いて
S=
t=
9'
したがって A=2+12
AO
別解条件から
|=3,=2,
c3x2cos60°=3
AO=sb+tc (s, tは実数とおく。
点は△ABCの外心であるから
|OA|=|OB|=|0||
すなわち AO=AB-AO=AC-AOI
71

ゆえに,[AB|2-2ABAO=0であるから
|6|2-26-(sb+tc)=0
よって
(1-2s)|6|2-2tb-c=0
これに | =3,1c=3を代入して整理すると
72
6s+2t=3
wwwwww
①
|AO|=|AC-AO| から
|AO|=|AC-AO|2
よって [AO|=|AC|2-2ACAO +[AO
ゆえに AC2-2ACAO=0であるから
||2-2c-(sb+tc)=0
よって
-2sb-c+(1-2)||-0
これに1c=3.2を代入して整理すると
3s+4t=200 ②
①、②を解いて 1.11/30
したがって
AD-127+12/2
70 AB=1, AD = とすると
BC=d.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

残念ながら、変数（未知数）を作って方程式をたてないと解けないと思います。
通常の解法では２つ（最低１つ）の変数を使って解きます。
----------
OAベクトルは、以下のようになっています(ベクトル記号省略)。
　AO={||c|-|ｂ|cosθ|/|c|・c + ||b|-|c|cosθ|/|b|・b}／2sin²θ
または、
　AO={|a²+c²-b²|/|c|²・c + ||a²+b²-c²|/|b|²・b}／2sin²θ　など
公式として使ってよいのであれば、これに当てはめればよいですが、
公式ではないので方程式をたてて解くのが、通常です。
（直感的に上記の式になることが分かり説明できれば使ってよい）
上記のOAベクトルは方程式（変数１つ）を解いた結果です。

GDO

位置ベクトルの公式を使うと（覚えておけば）解けました。
o↑=(sin2A・a↑+sin2B・b↑+sin2C・c↑)／(sin2A+sin2B+sin2C)
o↑=a²(b²+c²-a²)・a↑+b²(c²+a²-b²)・b↑+c²(a²+b²-c²)・c↑
　／{a²(b²+c²-a²)+b²(c²+a²-b²)+c²(a²+b²-c²)}
注意：a²、b²、c²は辺の長さ
-----
Aを起点(a↑=0↑)とすれば、質問と同じ意味になるので、
公式の２番目の方を使うと、
AO↑=b²(c²+a²-b²)・b↑+c²(a²+b²-c²)・c↑
　／{a²(b²+c²-a²)+b²(c²+a²-b²)+c²(a²+b²-c²)}
a=√7,b=2,c=3なので(aは余弦定理で求めた)
b,cは逆なので注意
AO↑=4(7+9-4)・b↑+9(4+7-9)・c↑
　／{7(9+4-7)+4(7+9-4)+9(4+7-9)}
　=(48・b+18・c)/(42+48+18)
　=48/108・b↑+18/108・c↑
　=4/9・b↑+1/6・c↑
答えが出ましたね。

やんさん

理解できましたありがとうございました！