Question

くまくま

２番はどうして解と係数の関係を使うのですか？問題の解き方のステップが分かりません！教えてください！

*212 放物線 y=x2 と直線y=m(x+2) は異なる2点P, Qで交わるとする。
(1) 定数m の値の範囲を求めよ。
m の値が変化するとき, 線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。

212 (1)x2=m(x+2)から
x²-mx-2m=0
******
・①
2次方程式 ①の判別式をDとすると
D=(-m)2-4.1.(-2m) =m²+8m
=m(m+8)
放物線と直線が異なる2点で交わるのは, D
のときであるから
m(m+8)>0
したがって m<-8, 0<m
2 2点P,Qのx座標を, それぞれα β とする
と, a, βは2次方程式 ① の異なる2つの実数
解である。
よって, 解と係数の関係から
線分 PQ の中点M の座標を (x,
a+8 m
x=
2
====
a+β=m
y) とすると
.②.
2
m2
y=m(x+2)=
+2m
③
2
② より
m=2x
よって, ③ より
y=2x2+4x
また,(1)より<-8,0<mであるから
2x <-8, 0<2x
すなわち
x<-4,0<x
よって,点Mは放物線y=2x2+4x の x <- 4,
0<xの部分にある。
逆に,この図形上のすべての点は, 条件を満た
す。
したがって, 求める軌跡は
放物線y=2x2+4x のx<-4, 0<xの部分