Question

ふく

円に内接する三角関数の問題です。(2)の解説部分に引いた緑線部分が分かりません。何故赤線部分の要素であるcosの含む項が相殺されているのですか？
本来ならcd(a^2+b^2-2abcosθ)+……のなるのではないのですか？

56
図のように円に内接する四角形ABCD がある.
辺AB, BC, CD, DA の長さをそれぞれa, b, c, d と
D
A
d
a
する。
(1) 対角線 AC の長さをxとし, ∠ABC=0 とする.
(ア) を a, b および 0で表せ.
(イ)同じくをc, dおよび0で表せ.
(2) AC・BD = ac+bd となることを示せ.
0
B
C
b
C

56 (1) (ア) 三角形ABC に余弦定理を用いて
(1)(ア)三角形ABC
x2=α²+62-2abcoso
(イ) 三角形 DACに余弦定理を用いて
x=c+d-2cdcos ∠CDA
∠CDA=180°-0であるから,
よって,
cos∠CDA = cos (180°-0)=-coso
x2=c2+d2+2cdcos 0
(2) ① xcd + ② xab より
(cd+ab)=cd(a+b2)+ab(c2+d2)
右辺 = (acd+abc2)+(bicd+abd2)
=ac(ad+bc)+bd(bc+ad)
=(ad+bc)(ac+bd)
…①
....2
②
よって,
(ab+cd)x2=(ad+bc)(ac+bd)
...③
③ × ④ より
上と同じようにして, BD=y とおくと
(ad+bc)y2=(ab+cd)(ac+bd)
x2y2=(ac+bd)
④
よって,xy=ac+bd
つまり, ACBD = ac+bd

余弦定理 円に内接する四角形

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

> 本来ならcd(a^2+b^2-2abcosθ)+……のなるのではないのですか？

確かにその通りですが、
模範解答はそこを脳内で済ませています

ふく

式同士引き算すると丁度消えるんですね、ありがとうございます！