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階差数列で求めました
(1)
x＋y≦nを満たす自然数(x, y)の個数をa[n]と表します。
まず、n＝1のときは満たしません。
xもyも自然数ですから、x＋yは2以上になりますから。
なので、a[1]＝0です。
n＝2のとき不等式はx＋y≦2となりますが、
これはx＋y≦1のときの個数とx＋y＝2のときの個数を足せば求まります。
x＋y＝2を満たすのは(x, y)＝(1, 1)だけなので
a[1]＋1＝0＋1＝1が、a[2]となります。
x＋y＝nを満たす(x, y)の個数はn－1個です。
例えばx＋y＝5なら、
(x, y)＝(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)で4個ですね。
一方が最小値なら他方は最大値になりますので、
そこから順番に1ずつずらしてやれば全て得られます。
不定方程式みたいにしてやればきちんと示せると思います。
一般に、x＋y≦nを満たす(x, y)の個数は
x＋y≦n－1のときの個数にx＋y＝nのときの個数を足せば求まるので、
a[n]＝a[n－1]＋n－1という漸化式が成り立ちます。
後はこれを解くだけです。階差数列です
a[n]＝a[1]＋Σ[k＝2→n](k－1)
＝0＋n(n＋1)／2－n
＝n(n－1)／2
(x, y)の個数はn(n－1)／2です。
対辺失礼しました。問題最初のx,yが0以上の整数であることを間違えていました。訂正したものを書いておきます。
(1)
x＋y≦nを満たす0以上の整数(x, y)の個数をa[n]と表します。
n＝1のとき、xもyも0以上の整数ですから、
x＋y≦1を満たすのは、(x,y)＝(0,0)、(1,0)、(0,1)
なので、a[1]＝3です。
n＝2のとき不等式はx＋y≦2となりますが、
これはx＋y≦1のときの個数とx＋y＝2のときの個数を足せば求まります。
x＋y＝2を満たすのは(x, y)＝(0,2)、(1,1)、(2,0)なので
a[1]＋3＝3＋3＝6が、a[2]となります。
x＋y＝nを満たす(x, y)の個数はn+1個です。
例えばx＋y＝5なら、
(x, y)＝(0,5),(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),(5,0)で6個ですね。
一方が最小値なら他方は最大値になりますので、
そこから順番に1ずつずらしてやれば全て得られます。
不定方程式みたいにしてやればきちんと示せると思います。
一般に、x＋y≦nを満たす(x, y)の個数は
x＋y≦n+1のときの個数にx＋y＝nのときの個数を足せば求まるので、
a[n]＝a[n－1]＋n+1という漸化式が成り立ちます。
そして
a[n+1]＝a[n]+n+2 として階差数列です
a[n]＝a[1]＋Σ[k＝1→n-1](k+2)
＝3＋n(n-1)／2+2(n-1)
＝(n+1)(n+2)／2
すみません！ありがとうございます！！
失礼承知で申し訳ないんですが、答えが(n+1)(n+2)/2になるんです。どこが違うのでしょうか