数学
高校生
解決済み

(ii)の途中式を教えて欲しいです、、、
よろしくお願いします(;;)

II 座標平面上の3点0 (0,0), A(1,0),Bに対し,三角形OABは正三角形である。た Bのy座標は正であるとする。 さらに点CはOABの重心とする。 0を中心とし てOAB を反時計回りに角度回転させたときの三角形を OA'B' とする。さらに点で 2π はOA'B' の重心とする。 ただし, 0≦a≦ 3 とする。このとき, 次の問 (i) ~ (v) に 答えよ。解答欄には,(i), (ii), (iv)については答えのみを, (), (v)については答 えだけでなく途中経過も書くこと。 さ i BおよびCの座標をそれぞれ求めよ。 B' およびC' の座標をそれぞれ cosa, sinα を用いて表せ。 線分B'C'の中点をPとし,Pのy座標をf(α)とする。 *おける f (α) の最大値を求めよ。 B ≦a≦2の範囲に とする。 また Test Date X (iv) 線分 B'C' がx軸と平行になるときのαの値を α とする。 α を求めよ。 α が 0 から (iv) で求めた α まで動くとき, B'C' が通過する領域をDとする。 D の面積Sを求めよ。
〔参考〕のようにS III 解答 (i) B 2 (ii) B' B' (727 √3 cosa- v3 2 sina, cosa + 2 2 sin α). J-00 √3 C' 6 Ccosa sina, sina+coa) (i)(ii)の結果より 1 2 6 cosa) √3 1 √3 cosa - *sina + 1 cosa sin a 1 v3 2 2 2 *cosa + sina+ sina+ 2 2 Cosa 2 6 '5 P 2 2 AQ すなわち Play cosa-1/2 sine 1/2 sinart 15g cosa) a, + √3 3 3 したがって f = 6 sinβ=- 7 √7 EV 2 O≤a≤ x のとき B≦α+B+βより,f(a)はα+k 3 a はα+B=Aのとき最 (1 (onia p (a)=sina+cosa (3sina + 2/3 cosa) sin (a) (ただし,角BはcosB= 6 2 を満たす鋭角とする) √21 (a+β)

回答

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(ⅱ)B(1/2、√3/2),C(1/2、√3/6)をα回転させるには、
B(1/2、√3/2),C(1/2、√3/6)極座標で表すことを考えます。
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B=(rcosθ,rsinθ)
 r=√{(1/2)²+(√3/2)²}=1
 cosθ=1/2,sinθ=√3/2
Bをα回転させると、B'=(rcos(θ+α),rsin(θ+α))になる。
加法定理を用いて、
 rcos(θ+α)=r(cosθ・cosα-sinθ・sinα)=1/2・cosα-√3/2・sinα
 rsin(θ+α)=r(sinθ・sinα+cosθ・cosα)=√3/2・cosα+1/2・sinα
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C=(rcosθ,rsinθ)も同様に計算すると、C(1/2、√3/6)
 r=√{(1/2)²+(√3/6)²}=1/√3=√3/3
 cosθ=√3/2,sinθ=1/2
加法定理を用いて、
 rcos(θ+α)=r(cosθ・cosα-sinθ・sinα)=√3/3(√3/2・cosα-1/2・sinα)
=1/2・cosα-√3/6・sinα)
 rsin(θ+α)=r(sinθ・sinα+cosθ・cosα)=√3/3(1/2・cosα+√3/2・sinα)
=√3/6・cosα+1/2・sinα
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行列を習っていると、行列を使った変換でも求まられます

rr

ありがとうございます😭出来ました!!

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