Question

ﾐｼﾞｭ

(2）の問題なのですが、初見で考えつきませんでした。
（1）の結果を見ても分かりませんでした。
（2）は (n=1.2.3......）と書いてあるからSn+1で考えるしかなかったということでしょうか。

分かりにくくてすみません。解説お願いします。

各項が正である数列{an}の初項から第n項までの和S” が
Sn
2n
=2/12 (a,+2) (n=1,2,3.…) を満たす。
an
an
(1)S1=√2.S.Smi_1=2n (n=2,3,4 ) を示せ。
(2)Sn=√n(n+1) (n=1,2,3, ...) を示せ。
(3) 船頂を求め lima を求めよ。
z2)
(山形大*)

S第n項までの
)を満たす。
2,3,4 ) を示せ。
)を示せ。
よ。
(h≥2)
Sm-1-Sn2=2(n+1) となるので, bm=S;
■化式を解けばいい。 (3)は,Sn-Sm-1=0
問題に帰着する。
n≧2のとき,
Sn- Sn1 = an ......
(2)(1)
|S^2=2
S=√2より)
[Sm11-Sm2=2(n+1) ...... ③
(n=1, 2, ...)
(*1)の両辺のnの代わりにn+1を用い
たので,nは2スタートではなく1スタ
ートになる。
(山形大*)
ここで, Sn2 =b, とおくと
Sm2-1=(S-S-1)(Sn+Sn-1)=an(2Sa
･･②より,
Sn1=Sn-an
･･② となる。
よって、①,② ②を用いて,
の左辺を変形すると,
b=S12=2,bn+1=Sn1 より,③は,
bn+1-bn=2(n+1)･･･ ③' となる。
これをcm とおく。
階差数列型の漸化式の解法
bm+1-bm=cm のとき,
n≧2で,
n-1
b = buck となる。
k=1
Ck
③は階差数列型の漸化式より、
n≧2で,
n-1
b„= b₁+Σ 2(k+1)
これ
って
. S
で
(3) ④
an
こ
a
a₁
H
d
a
(*1) の左辺 = Sn2-Sm2-1
= (Sn− Sn−1) (Sn + Sn-1)
an(②より Sn-an (②'より)
=an (2Sn-an)
2n
(2/2(+2) (①より)
an
an
2n
alan+a
=anan+
-onl
=2n=(*1)の右辺
n≧2のとき,(*1)は成り立つ。
k=1-
2
Ck
n-1
=2+2_(k+1)
k=1
2+3+..+n=
n=k-1
+2{/1/2m(n+1)-x}
=2+2.
= n(n+1)
:.bn=Sh²=n(n+1)
ここで,Sn=a,+α+…+a>0より,
II
題意より, 1, 2, am はすべて正
Sn=√n(n+1) (n=2, 3, …) となる。
一般攻ONが

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(2)Sₙ=√n(n+1)を示すために、まず
Sₙ²=n(n+1)を示すことになるかと思います
(1)はSₙ²の漸化式なので、これを解けばSₙ²が出そうです

> （2）は (n=1.2.3......）と書いてあるからSn+1で考えるしかなかったということでしょうか。

別にそういうわけではありません
実際、Sₙ₊₁²-Sₙ²に書き換えたところで、
一番下ではn=2,3,4,…の場合しか示せず、
n=1の場合は別に調べることになります

Sₙ²-Sₙ₋₁²のままでも問題なくできるかと思います
やってみてください

ﾐｼﾞｭ

ありがとうございます。
解答の通り出なくても出来ました。