Question

たまご

(3)の面積を求める問題はベータ関数を使う以外に方法はないのでしょうか？
また、入試でベータ関数は使っていいですか？

80
兵庫医科大<記述 (過程含む)>
曲線 C: y=x^-9x3 +27x2 -31x + 12 が 1本の直線と異なる2点P, Qで接する。
次の問いに答えなさい。
(1)x軸,y軸との共有点をすべて求め,それらの座標を使って曲線Cのグラフの概
形を描きなさい。
(2) 直線 PQ の方程式を求めなさい。
(3) 曲線 Cと直線 PQ で囲まれた部分の面積を求めなさい。
(1)
着眼点 (1) 因数分解する。
(2) 接点の座標を(t, -9t+27f2-31t+12) とおいた接線とCが,さらに異なる点
で接する条件を考える。
または、接線の方程式をy=g(x) とおき, 2点P,Qのx座標をpg とおくと
x-9x3 +27x2-31x+12-g(x)=(x-p)2(x-g)2
はxの恒等式となる。
(3) Cの方程式から接線の方程式を引き, 接点間で定積分する。
解法
Cと軸との共有点の座標は (0,12)
C:y=x-9x3+ 27x2 -31x + 12 ......①
また、①の右辺をf(x) とおくと
1 -9 27 -31
12
f(1) = 0
1 -8
19
-12
であるから, 右の組立除法により
1
-8 19 -12
0
y=(x-1)(x-3)(x-4
1
-7
12
と変形できるから, Cとx軸との共有点は
(1, 0), (3, 0), (4, 0)
3
1
-7
12
0
3.
-12
よって,Cのグラフは下図のようになる。
1
-4
0
Ay
12
O
3
x
(2)Cと直線の接点の座標を (t, t-9t3 + 27t2-31t12) とおくと

y'=4t-27t + 54t-31
であるから,接線の方程式は
§14 微積分法(解答編) 307
y-(-93+27t2-31t+12)= (4t3-27t²+54t-31) (x-t)
y=(4t-27t2+54t-31)x-3+ 183-27t2 +12 .....②
Cの方程式と連立すると
x-9x3+27x2-31x+12= (4t-27t+54t-31)x-3t + 18t-27t2 +12
(x_t) 2{x2+ (2t-9)x + 3t-18t + 27} = 0
直線PQは2点で接するから, x+ (2t-9)x +3t-18t+27=0は重解をもち、判別式
をDとすると
D=(2t-9)2-4(3t2-18t+27) = 0
8t2-36t+27=0
このとき
・③
4t-27t + 54t-31 = (8t2 - 36t+ 27)
8
- 3t + 18t3 - 27t2 + 12 = (8t-36t+27)
7)( -3/3
9 27 39
12.
+ -t+
+
8 16 64 64
39
=
64
であるから,②より直線 PQ の方程式は
5 39
64
y=-x+
別解 接線の方程式をy=g(x) とおき,2点P,Qのx座標をpg とおくと
x-9x3 +27x2-31x+12-g(x)
=(x-p)(x-g)2
= x²-2 (p + q) x³ + (p²+q²+4pq) x² −2pq (p+q)x+p²q²¯¯......①'
g(x)は1次式であるから,xxの係数から
J2(p+α)=9
[p2+g2+4pq=27
|p+q
9
(p + g) 2 + 2pq=27
9
p+q=
・
27
-pq=
8
よって,①から
x-9x3 + 27x2 - 31x + 12-f(x) = x-9x° + 27x2
g(x)
9 (x) =
x) = (243-31)x +1
729
12-
64
243
729
x+
8
64

308 § 14 微積分法 (解答編)
5 39
=--x+
8 64
(3) 接点のx座標をp, g (p<g) とすると,これらは③の解であり
9
p+q
2
・④
27
pa =
8
よって, 右図から曲線 Cと直線 PQ で囲まれた部 YA
分の面積をSとすると
S= ∫^{(x-9x +27x²-31x + 12)
=S,² (x − p)² (x − q)²dx
5
39
+
p
x
5
39
y=-
8x+.
64
2!2!
=
(q-p) 5
5!
= 10 (√ (p + q) 2² - 4pq}³
=
30
1
30
2 2715
-4--
(∵④)
729/3
320
POINT (1) 定数項12の約数について因数定理を利用する。
(2)Cと接線の方程式を連立したxの4次方程式は,自明を2重解にもつか
ら商について, (判別式) = 0
恒等式を利用する場合は,3次と2次の項の係数比較によりpg の式の値が求め
られる。
(3)面積をSとすると, ベータ関数により
S=f(x-p)(x-2) dx=2121(1p)
2!2!
5!
5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きぃ

ベータ関数は使わない方がいいでしょう。
部分積分か、有名なやつでやるべきです。
↓

たまご

ベータ関数は使わない方がいいのですね！
解法を2個もありがとうございます
解決しました！