Question

かさじそう

ベクトル163(2)についてです。

解説が言わんとしていることは分かるのですが、初見でこの問題を見た時にどのようにして体積を分割するという思考に帰着するのかが分かりません。問題文中にこの考え方をするヒントがあるのでしょうか。それとも、「四面体に内接する球の半径」という問題の1パターンとして丸ごと持っておくものなのでしょうか。

自分が解いた時は、(1)のHをどうにか利用するのかと思ったのですが、何もできませんでした。
回答お願いします。

秘 163. <座標空間における四面体の体積と内接する球の半径>
原点を0とする座標空間に3つの点A(3, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 1) がある。
(1) Oから3つの点 A, B, C を含む平面に垂線を下ろし、この平面と垂線の交点をH
ア
オ
とすると, 点Hの座標は
である。
(2) 四面体 OABC に内接する球の半径は
である。 [18 早稲田大・スポーツ科学]

よろし
参考ア,エとなることはない。
また、常に|OA|=|OB | となるわけではないから、ウでもない。
OPをOAとOBの外積という。
また,内接する球の半径をrとすると
163 〈座標空間における四面体の体積と内接する球の半径〉
(1)点Hは平面 ABC上にあるから, AH=sAB+tAC (s,t は実数)と表される。
原点Oから平面 ABCに下ろした垂線 OH について、 次の関係が成り立つ。
OHLAB, OH LAC
これと OH = OA +AH を利用すると, OH の成分,すなわち点Hの座標が求められる。
(2) 四面体 OABCに内接する球の中心をⅠとして 四面体 OABC を四面体 IOAB, 四面体
IOBC, 四面体 IOAC, 四面体IABC に分けて体積を考える。
内接する球の半径を とすると,四面体 IABCの体積は1/3 ×△ABCxr
=1/2ABHACP-(AB-AC)2
また △ABC=
(1)点Hは平面 ABC 上にある
から 実数 s, tを用いて
AH = sAB+tAC と表される。
Cl1
よって OH=OA+AH
=OA+sAB+tAC
AB= (-3,2,0),
AC = (-3, 0, 1) であるから
OH = (3,0,0)+s(-3,2,0)+t(-3, 0, 1)
=(-3s-3t+3,2s, t)
OH (平面 ABC) であるから
...........
0
B
i=1/2x0ABxr=r, V2=1/3×△OBCx=/
V=
r=
12=1/2xCx=/12h=1/3×△ABC=ABC
y=
ここで,AB=(-3,2,0), AC = (-3, 0, 1) であるから
=
△ABC-12ABA-AB-ACy-1213×10-9 = 1/2
=
ゆえにV=27
+
r 7
2
ゆえに y=1/23
Y=
よって, ③ から 1=r+1/3+
したがって,四面体 OABC に内接する球の半径は3である。
点A(x1,y1,zi)を通り, ベクトル = (a, b, c)に垂直な平
面の方程式は α(x-xì)+6(y-yi)+c(z-zì) = 0 と表される。
カは平面の法線ベクトルという。これを利用して, 点Hの座標を
求めることもできる。
平面 ABC の法線ベクトルを n = (a, b, c) (n≠0) とする。
n1AB, AC 75345 AB=0, 7AC= 0
AB = (-3,2,0), AC = (-3, 0, 1)から
-3a+26=0, -3a+c=0
よって b=
1=2/24,c=3a ゆえに = 1/2(2,36)
n0 より α 0 であるから, n = (2,36) とする。
平面 ABC は,点A(3, 0, 0) を通り n = (2, 3, 6) に垂直であ
るから,その方程式は 2(x-3)+3y+6z=0
2x+3y+6z-6 0 ...... ①
OH7 であるから, OH = kn (kは実数) と表せる。
OH AB, OHIAC
すなわち
OHAB から
OH.AB=0
OH (平面 ABC) である
から OHは平面 ABC上
のすべての直線に垂直。
ゆえに
(-3s-3t+3)×(-3)+2s×2+t×0=0
よって
よって
H(x, y, z) とすると (x,y,z)=k(2,3,6) ...... ②
x=2k, y=3k, z=6k
①に代入すると
2×2k+3×3k+6×6k-6=0
△OAB=3, △OBC=1,
COAC-212
◆ABP= (-3)^+2' 13
|ACF=(-3)"+1=10
AB-AC=-3×(-3)=9
◆計算しやすいようにの
成分を定めている。 一般に
法線ベクトルは無数にある。
◆OH (平面 ABC) かつ
(平面 ABC) から
OH // n
◆点Hは平面 ABC 上の点。
13s+9t=9 ①
OH AC から
OH-AC=0
(-3s-3t+3)×(-3)+2sx0+t×1=0
9s+10t=9 (2
36
t=
49' 49
ゆえに
よって
9
①②を解いて
S=
ゆえに
したがって, 点Hの座標は
OH-(12)
/12 18 36
49' 49' 49
712 '18 *36
'49' 49'49
(2) 四面体 OABCに内接する球の中心をI とする。
四面体 OABC, 四面体 IOAB, 四面体 IOBC, 四面体 IOAC, 四面
体IABCの体積を,それぞれ V, Vi, V2, V3, V, とすると
V = Vi+V2+ V. + V, ...... ③
CS. Camcanner T
7
これを解くと
k=-
49
②に代入して,点Hの座標は
'12 18 36)
①×10-②×9 から
\49' 49'49
49s-9
164 <座標空間内の2直線の交点と三角形の面積比>
(1)A(-3, 1, 1), AB=(9,6,3)=3(3,2,-1) から, 直線AB上の点の座標は、 実数
sを用いて (-3+3s, 1+2s, 1-s) と表される。
同様に, 直線 CD 上の点の座標は実数を用いて表し、2つの座標が一致するようなs,t
の組がただ1つ存在することを示す。
(2) APC APD=PC: DP を利用する。
(1) AB= (9,6,3)=3(3,2,-1)
から 直線AB上の点の座標は実数s を用いて
数学重要問題集(理系)
147

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

典型的なよくある考え方です

思いつく必要はなく、
逆に言えば知っているのが当然とされるかと思います

かさじそう

回答ありがとうございます。
この解法も手札として持っておこうと思います。