Question

よふ

共通テスト対策の図形の問題についてです。
セ、ソについて、解説を見たのですがよく分かりません。どなたか詳しく解説していただけませんか？
なぜ垂直二等分線と言えるのでしょうか？

**28 [12分】
△ABCにおいて AB=3, BC=4, CA=√5 とする。
このとき
ア
cosZACB
sin∠ACB=
V
オカ
ウエ
キク
ケ
コサ
であり, △ABCの外接円 0の半径は
である。
シス
外接円Oの点Bを含まない弧 AC上 (両端を除く)に点P をとる。 点Pが弧AC
を動くとき,四角形 ABCP の面積が最大になる場合を考えよう。
(1) 四角形 ABCP の面積が最大になるときの点Pについての記述として,次の①
④のうち、正しくないものはセ と
である。
セ
ソの解答群(解答の順序は問わない。)
線分 BP は辺 ACと垂直である。
① 線分 AP と CP の長さは等しい。
② 線分 BPは円0の直径である。
③ 線分 BPは∠ABCの二等分線である。
④点Pにおける円0の接線は辺 ACと平行である。
(2)点Pが弧 AC上にあるとき
タチ
cos/APC=
ツ
である。 四角形 ABCP の面積が最大になるとき
AP=V
テトナ
ニヌ
であり,四角形 ABCP の面積の最大値は
ネノ
ハヒ
ーである。
フへ

28
定理により
COS/ACB =-
4'+ (√5)2-32_12 3/5
2・4・√5
sin∠ACB=√1-coså ∠ACB
8√5 10
3√5
2
=
10
B
B
√55
10
外接円Oの半径をR とすると, 正弦定理により
3
15
3√55
=
=
R=2sin∠ACB √55 11
(1) 四角形 ABCP の面積が最大になるのは,△ABC の面積が一定
であるから, ACP の面積が最大になるときである。
△ACP の面積が最大になるのは,辺ACと点Pの距離が最大に
0

ある。このとき,PはACの垂直二等分線上にあり, AP = CP
なるときであるから, 点Pにおける円0の接線は辺 AC と平行で
であるから, ∠ABP = ∠CBP が成り立つので, 線分 BP は∠ABC
の二等分線である。よって,正しくない記述は②
(2) ACP に正弦定理を用いて
√5
sin∠APC
11
=2· 155
.in/APC115VIT
6/55
6
∠APC> 90° より, cos∠APC < 0 であるから
cos/APC=-√1-sin∠APC
√11
1-
==
5
6
■△ABCの外接円と AACP
の外接は同じ。
◆△ABCにおいて、
より
∠ABC < 90°
四角形ABCPは円に内接す
るから
(注) △ABCに余弦定理を用いて
∠ABC+ ∠APC=180
よって ∠APC>90°
cos ABC=-
32+4°-(√5)_5
2.3.4
6
四角形ABCP は円に内接するから
∠ABC + ∠APC=180°
よって
cos/APC=cos (180°∠ABC)=-cos∠ABC
■cos (180°0)=-cos
5
6
AP=CP=x とおくと, 余弦定理により
x'+x-2.xx・cos/APC=(√5)
5
2x²+x²=5
15
x²=
11
51
x>0より
x=
/15_165
11
△ABCの面積は
11
1/13・4・sin∠ABC=6V=VIT
2
△APCの面積の最大値は
(√) sin APC=15.5
/(/)
11 5/11
22
44
よって, 四角形 ABCP の面積の最大値は
sin∠ABC
= sin(180°∠APC)
=sin ZAPC
√11
6