Question

おにぎり

c1=1はどう求めますか？

35. 数列{an} を an= = "x"e dr (n=0,1,2,･･･)で定める.このとき
(1) An+1 と an の関係式を求めよ。
(2) 自然数nに対して, an=bne+cm となる整数 bn, Cnがあることを数学的
帰納法を用いて証明せよ .
lim
bm=
n→∞ Cn
を示せ.
e
(新潟大)

【解答】
(1)n=0, 1, 2,…··に対し
より,
an+1=
= S²x² + 1 e² dx
= [x" + e²] - (n+1)√"x" e³ dx
=e-(n+1)an
1(1-4) 14
.011)
(証明終り)
3
an+1=e-(n+1)an (n=1,2,3, ...). S
(2)n=1 のとき, a=e-q=e-Sedr=e-(e-1)=1 だから成立.
【解答】 n=k のとき,an = bre+Ck (b, は整数とすると, (1) より
Kは自然数
ak+1=e(k+1)(bke+ck)
={1-(k+1)6k}e-(k+1)Ck.
...①
1-(k+1)6k, k+1 はともに整数だから, n=k+1 のときも成り立つ.
したがって題意は示された.
(3)(1) の結果により,
0<an=
e-an+1
n+1
(税込)
→0 (n→∞)
n+1
本
が成立するから, はさみうちの原理により liman=0.
n→∞
また① より Ch+1=-(k+1)Ch=1, 2,... これと c1=1 とにより
帰納的に C≠0 であるから, cn|≧1.
crc-11≤cn
したがって (2) により,
an=bne+1.
an=bnetcn
Cn
Cn
÷cm
ま

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

らい

a1=1よりb1=0,c1=1です

おにぎり

ありがとうございます🙇✨