矢印は省略します。
a+b＝u/2、2a-b＝v/3 とすると、
a＝(3u+2v)/18、b＝(3u-v)/9 とおけ
a-b＝(3u+2v)/18-(3u-v)/9
＝(-3u+4v)/18…①
|a+b|＝1/2 より、|u/2|＝1/2 → |u|＝1
|2a-b|＝1/3 より、|v/3|＝1/3 → |v|＝1
|u|²＝1、|v|²＝1 から、
u・v＝|u|・|v|cosθ＝cosθ cosθの範囲から
-1≦u・v≦1…②
①より
|a-b|²＝(-3u+4v)²/18²
＝(9|u|²-24u・v+16|v|²)/18²
＝(25-24u・v)/18²
→ 18²|a-b|²＝25-24u・v
→ 18²|a-b|²-25＝-24u・v
②より、
-24≦-24u・v≦24
→ -24≦18²|a-b|²-25≦24
→ 1≦18²|a-b|²≦49
→ 1≦18|a-b|≦7
→ 1/18≦|a-b|≦7/18
