Question

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この問題のキクで、どの部分からRQは円O”の弦（円周を通る）ことがわかりますか？

解説お願いします🙏

②メモ
20€
OF
step2
速効を使って問題を解く
アプローチ
点Aにおける円 0の接線上に点Pをとり、 Pから円0にもう1本の接線を引き、その接点をBとする。
2点0.0をそれぞれ中心とする2つの円がある。 円0の内部に円があり、2つの円は1点で接している
らに、点Pと点を結ぶ直線と円′との交点をPに近い方から順に Q,R とする。
(2)直線PR が∠OPAを2等分しているとする。さらに円の半径が6でPA=8とする。このとき、
ウエであり,したがって円0′の半径は
OP=
である。
次に, 3点 Q,R, Bを通る円の中心を0" とし, 00'0” の内角の間の関係を調べる。
(1)によりO" は線分 OB上にある。 ∠00'0"=0 とおくと,
∠APO'=90°∠PO'A=90° <RO'Oかつ, ∠RO′O"
[R
0
B
(参考図)
P
A
ア
と
には、次の⑨のうちから正しいものを1つずつ選べ。
O ARAQ
① ARPR
② PQ PR
③ PQ QR
④ PR QR
5 ARQ
⑥ BQR
PQA
8 PRB
QBR
なので,∠APO' = 0 とな
コ
る。ゆえに、COSO=
10
である。 また, 四角形O" O'PBは円に内接するので、
O'O"Oシ 0となる。
解答
番号
ア
イウ
H
土
解答欄
456789
78
(1)3点 Q,R,Bを通る円が点Bで直線 PBに接することを示そう。 接線と弦のつくる角についての
質より∠PAQ = ∠PRAなので, △PAQと△PRAは互いに相似である。 したがって, PA'=アで
ある。一方,PA=PBだからPB2=アでもある。よって, APBQとイは互いに相似となり、
∠PBQ= ∠イとなる。ゆえに, 3点 Q,R, B を通る円は点Bで直線 PBに接することになる。
オ
キ
ク
ケ
⑧⑨
コ
サ
①
土 (0)
678
'04 センター試験 追試 数学Ⅰ・A

数学
数学A 図形の性質
ユニット
9
円と接対策
解
解
速効を使って閉意をつかめたか確認しよう
アプローチ
メモ
(1) 角の関係から
APAQAPRA を示して
線分の関係を導き、次に線
分の関係からAPBQと相似
な三角形を示して 対応する
等しい角を導くという流れに
なっている。
△PAQ∽△PRAであるから,A
PA:PQ=PR:PA
よって, PA2=PQ・PR
･･････アの (答)
OAP 90° だから,△POAにおいて, 三平方の定理より
OP2 OA2+AP2=62+82-100
よって, OP10 ウエの (答)
△POAにおいて, PO′は∠OPAの二等分線であるから,
00′ : O'A=PO:PA=10:8=5:4
よって、円O′の半径O'Aは,
4
O'A=
4
8
-OA= ·6=
5+4
......オ,カの (答)
9
3
次に,2円 0, 0" はともに点Bで直線 PBに接するから,
点O" は線分 OB上にある。
RQ は円O″の弦であり, O′は弦RQの中点であるから,
<RO'O"=90° ······ キクの (答)D
ここで, ∠APO′=90°-∠PO'A
0=200'0"=90°∠RO'O
基礎 接線と弦のつくる角の定理
を確認
対頂角は等しいから、∠PO'A= ∠RO'O
よって、∠APO’=9
右の図で、 直線 AT が点
Aで円 0と接するならば,
∠BAT = ∠ACB
C.
△O'APにおいて, 三平方の定理より,
O'P°= O'A'+ AP2
.0
B'
0-
6
R
20
A -8
\P
RQ は円0′の直径であるから
O'R = O'Q
TE
O'P2=
一方, PA=PBだから,
PB2=PQ・PR
も成り立つ。
PB・PB= PQPR
18\
3
640
+82=
9
接線と弦のつくる角の定理より,
∠PAQ= ∠PRA
よって, O'P=
8/10
3
よって, RB : PQ=PR: PBより,
∠APQ= ∠RPA (共通)
よって、 △PAQ∽△PRA
したがって,
AP
cos 0=
8√10
3/10
D
基礎
円の弦の性質
を確認
中心と弦 ABの中点を
結ぶ直線は, AB に垂直で
ある。
0
△PBQAPRB ⑧･････イの (答)
-=8÷
O'P
3
10
.....ケ, コサの (答)
となるから, ∠PBQ= ∠PRB
ゆえに、 接線と弦のつくる角の定理の逆により, 3点 Q,R,
また,∠O"O'P = ∠O"BP=90° だから、 四角形O" O'PBは
円に内接するのでE
基礎 四角形が円に内接するため
を確認 条件の
Bを通る円は点B で直線PBに接する。
B
B
基礎接線と弦のつくる角の定理の注
∠0'0″O= ∠O'PB= ∠OPO' + ∠OPB
を確認
=0+20=30 ・・・･･･シの (答)
右の図で
∠BAT = ∠ACB
.0
ならば, 直線 ATは点A
で円 0と接する。
A
次の1,2のいずれかが成り立つとき
四角形は円に内接する。
1. 四角形の対角の和が180°
2. 四角形の外角が, それと隣り合
の対角に等しい。
(
人
0"
0.
0-
B

(2)∠OAP = 90°だから,△POAにおいて, 三平方の定理より,
OP2=OA+ AP2=62+82 = 100
よって, OP = 10 ウエの (答)
△POAにおいて, PO’は∠OPAの二等分線であるから,
00': 0′A=PO:PA=10:8=5:4
よって、円0′の半径O'Aは,
O'A =
5+4
4 OA=4.6
8
•6=
･･･オ,カの(答)
3
次に, 20, O" はともに点Bで直線PBに接するから,
点O" は線分 OB上にある。
RQは円O″の弦であり, O'は弦RQの中点であるから, C
ZRO'O"=90° ・キクの (答) D
(税)
ここで,∠APO′=90°- ∠PO'A
0=∠00'0″=90°-∠RO'O
対頂角は等しいから、∠PO'A = ∠RO'O
よって、APQ'=P
△ O'APにおいて,三平方の定理より,
O'P²=0'A²+AP2
+82-640
/8
2
O'P2=
9
よって, OP =
8/10
3
したがって,
AP
8√10
3√10
cos =
8÷
O'P
3
10
･･･ケ,コサの(答)
また,∠O"O'P = ∠O"BP=90° だから、四角形O" O'PBは
円に内接するのでE
∠O'0″O= ∠O'PB= ∠OPO′ + ∠OPB
=0+20=30 ......シの (答)
F

Answer 1

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