Question

ほなみ

0<=x<=(π/2)において、sin^3(x)+cos^3(x)のとりうる値の範囲の求め方を教えてください！

式だけでも大丈夫です。お願いします🙇‍♀️

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだか

覚えておくと色んなところで使える、三角関数の便利な置換です(*･ω･)

〈解答例〉sinx+cosx=t とおくと
(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinxcosx より
t²=1+2sinxcosx
⇔sinxcosx=(t²-1)/2
0≦x≦π/2 および sinx+cosx=√2sin(x+π/4) より、
tの範囲は 1≦t≦√2
ここで
sin³x+cos³x
=(sinx+cosx)³-3(sinx+cosx)sinxcosx
=t³-3t･(t²-1)/2
=-t³/2+3t/2
〈以下、増減表から最大最小を求める〉

ほなみ

丁寧なのに簡潔で、とても分かりやすかったです♡
ありがとうございます🙏✨
これを機にもう忘れないです🔥