Question

あ

数Bの漸化式の問題です。
写真のように解いて一応答えは出たのですが間違えていました。
なぜこの解き方だとダメなのですか？

250 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
an
1
14
a₁ =
3'
an+1
5g
+3

(1) A₁ = a +3
13,
4
antl
an
an
anti
+
4
antizant
4
3
2+/1/3
antid=Can-d
antl
41
Anti-14= | | (an--
9
4
lano an-yとおく。
bn=an-
9
3
〆
e
11
w/
whx
f/w &
(3
bantiangl/4=4lan
ht
9
14=3
yo
l₁ =
4
{lr}
9
9
9
は
初項、公比4の等比較
lin = - 9.4"-1
bn=an
u-1
*
9
-4-444 = An-
9
An=-
4
an
h-1
+
4
9
9

244
サクシード数学B
249
an+1
a,
1)
3+1
bx=
an
とおくと 6+100円
6an-360m
3nti
an+1=6am-3"+1 の両辺を 3 +1で割ると
3ht
34+1
34+1-2..
b„+1=4.4"-12an
b=4"-1
3m
列で
ゆえに
an=
=1であるから
1
an=-
4"-1
2
an
an
これを変形して
bm+1-1=2(6-1)
>0
9
また
b-1=0-1=13-1
-1=2
(2) 10 であるから, 漸化式より
同様にして すべての自然数nについて a0
よって, 漸化式の両辺の逆数をとると
よって 43 >O
よって、 数列 {bm-1) は初項2, 公比2の等比数
1
an+5
列で
bm-1=2.2"-1
a n+1
5an
ゆえに
bm=2"+1
1
1 1
すなわち
+
a =3"b" であるから
an+1
an 5
an=3" (2"+1)=6"+3"
b=1とお
とおくと
bx+1=b₁₂+
an
別解 +1=6a3"+1 の両辺を6+1で割ると
また
an+1 an 1\n+1
b1=1=1
=
a1
6"+1
1\n+1
cn=
とおくと
6"
Cn+1=Cn-
よって,数列 {b,} は初項 1, 公差 1/3 の等差数列
で 1= | b.=1+(n-1)/2=n+4
またG=12=1/2
5
21
5
よって, {cm} は初項が
3-2
b
an= であるから
an=
階差数列の第n項が
n+4
n
2'
- ( 12 ) * +1 の数列であるから,n≧2のとき
0
251 (1) b=na とおくと, 漸化式から
bn+1=6&mt1(nti) anti
C=
3-2
1-2
3-2
2k=1
(1)
また
b1=1.αュ=1
よって
bn=1
(n=1, 2, ...)
ゆえに
2
1
2
nan=1
n
(2) nan+1=(n+1)+1の両辺をn(n+1) で割
1
したがって
a =―
ると
=1+
G=12であるから,①はn=1のときも成り立
1\n
つ。ゆえに c.1+(1/2)^
Cn=1+1
b₁ =
また
a=6".c„ であるから
1
a=6" (1+()")=6"+3"
250 (1) b =- とおくと
bn+1=46+3
an
これを変形して
bn+1+1=4(b+1)
また
b1+1=1 +1=3+1=4
a₁
よって, 数列{b" +1} は初項4, 公比4の等比数
an+1
an
1
+
n+1
In
n(n+1)
an
とおくと
Tin
1
0n+1=6n+
n(n+1)
61=4=2
よって, 数列{bm} は初項が2, 階差数列の第
1
項が
n(n+1)
であるから, n≧2のとき
n-1
b. 2+kk+1)=2+(k+1)
=2+
+
++
n-1 n
=2+(1-1)=3-1

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

最初の逆数のとり方が間違っているからです

たとえば
(1/2)+(1/3)=5/6
の逆数をとって
(2/1)+(3/1)=6/5
つまり2+3=6/5にはなりません
1 / ( (1/2)+(1/3) ) = 5/6
になります

同様に、この漸化式の逆数をとってしまうと
aₙ₊₁ = 1 / ( (4/aₙ)+3 )
になってしまいます

あ

ありがとうございました♪