104 第2章 高次方程式
Think
例題 48
2次方程式の解の存在範囲
****
大阪届いての2次方程式」がどのような異なる2つ
(3) 異符号(1つが正で,他が負)
の実数解をもつとき、定数りの値の範囲を求めよ。ただし、わは実数とする。
(1) ともに正
(2)ともに
(4) ともに1より大きい (5) 1つは1より大きく、他は1より小さい
考え方 2次方程式の異なる2つの実数解 α β について,
(1)α,βがともに正⇔D>0, α+3>0.3>0
(2)α,βがともに負⇔D>0.α+β<0,aβ>0
⇒ aβ<0
α β 符号
(3)
(4) α. βがともに1より大きい⇔D>0 (α-1)+(β-1)>0, (α-1) (3-1)>0
(5) αβのうち、1つは1より大きく, 他は1より小さい
解答
x-2px+p+6=0の解を α β とする.
α+β=2p, aβ=p+6
解と係数の関係より
[[]]
A
(1) 2次方程式 x 2px+p+6=0 の判別式をDとす
ると,α. β は異なる2つの実数解であるから,D>0
である.
p²-(p+6)=p²-p−6=(p+2)(p−3)
D
4
(p+2)(3)>0より
(a−1)(8-1)<0
α β は実数
a+ß>0, aß>0€
Focus
より
(a-
(a
よって
3
a. B
(5)
さいとき
(
よって
2次方
25555
8
a,
α,
a,
p<-2, 3<p......①
あっても,α,βが実数
とならない場合(たとえ
ば a=1+i, ß=1-i)
があるので,D>0の条
件が必要である.
a.
α+β=2p>0より,
>0
②
注〉x2-2px
y=x'+
aβ = p+6>0 より
よって ① ② ③より,
p>3
p>-6
③
③
(2
①
-6
-2 0
このこ
実数解
(1)
α. βがともに正より,α+β>0,αB>0
3 p
(2) α β は異なる2つの実数解であるから, (1) より
p<-23<p ......①
α βがともに負より,
α+B<0.a>0
α+β=2p<0 より,
38 aẞ=p+6>0.
p<0 ・・・・・・②
p-6.......③
LD S
よって, ① ② ③より,
-6<p<-2
③
② +d
①
-6
-20 3 p
(3)
αβは異符号だから.
aB<0
p<-6
よって, p<-6
aβ=p+6<0 より
(4)α,βは異なる2つの実数解であるから (1) より
p<-2,3<p
...①
αβがともに1より大きいから
(-1)+(-1)>0(α-1)(3-1)>0
2-(a+β)x+αβ=0
の解は α,βで,この判
別式をDとすると
aβ< 0 ならば
D=(a+β)2-4a>0
となるためD>0 の条
件は必要ない。 また、
ない.
βの符号は定まら
(4)
(00)0-320-
煉4
練習
xo
∞*
***
48
(1)
Focus
(5)
より
(x-1)+(β-1)=2p-2>0より, p>1...... ②
(a-1) (B-1)=aß-(a+B)+1
=p+6-2p+1=7-p>0
p<7...... ③
よって、 ① ② ③より
3<p <7
②
①
3
③
α,β のうち、1つは1より大きく, 他は1より小
「さいとき, α-1 と β-1 は異符号であるから,
(a-1)(8-1)<0
よって, 7-p<0 より
7 p
2 2次方程式 105
a<1<β のとき
α-1<0.β-1>0 より,
(a-1)(8-1)<0
2次方程式の異なる2つの実数解 α, βについて,
α,βがともに正
αβがともに負
αβ符号
β<1<a のときも同様。
⇒D> 0, α+B >0,αB>0
⇔D>0,a+B <0,aB>0
<aẞ<0
α βがともにmより大きいD>0, (a-m)+(β-m)>0,
(a-m)(β-m) > 0
αβのうち、1つはmより大きく、他はより小さい
注x-2px+p+6=0 ...... ①
⇔ (a-m)(β-m) <0
3次のう
TA2 C
平沢可を
ズーP2
うまくいかな
M
第2章
は,x2+6=p(2x-1) となり、①の実数解は,放物線
y=x+6......② と直線 y=p(2x-1)③の共有点のx座標である。
このことを用いて問題を解いてもよい。
実数解が(1)~(5)のようになるのは, 直線 ③が下の図の青色の部分に存在するときである。
(1)
YA
(2)
YA
(3)
430
61
61
013
2
p=3
p=-6 p=-2
(4)
(5)
y
(1
2
X
x
p=-6
大
61 21
2/19/13*
x
p=3p=7
61
01)
P=700 EIR
練習の2次方程式(a-4)x+6-4a=0について,次の問いに答えよ.
48 (1) 異なる2つの解がともに2より小さいときの値の範囲を求めよ。
***
(2)1つの解が正で,他の解が負であるとき αの値の範囲を求めよ.
SA
p.110 10 11
回答ありがとうございます。分からないところがあったので質問させていただきます。⑸でも判別式Dは(α＋β）^2-4αβですよね？そうだとしたら、α一１、β-１の積が負であってもαβが負であるとは言えないのではないですか？