Question

so

22について質問です。
マークした部分は、初項2公差2の等比数列のn-1頂目までの和に7をかけたものだと思うのですが、
どうして7×2(2^n-1 -1)ではなく7×(2^n-1 -1)
になるのか教えていただきたいです🙇‍♀️

表し方変でで申し訳ないです🙇‍♂️

2項
21 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
a1=6, an+1=4an-9
ポイント② an+1=pantg→anti-c=p(an-c) と変形
2項
22 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
a1=1, an+1=2an+3n
ポイント③ an+1=pan+(nの1次式) -
階差数列を利用
2項
23 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求
a1=10, an+1=3a+2 +2

9.4"-1
n-1
ana₁+9.4-1-6+9.-
k=1
=3(4"-1+1) ..①
=3.4"-1+3
4-1
初項は a1=6であるから,①は n=1のときにも成り立つ。
したがって an=3(4"-1+1)
22 @n+1=2an+3n ・① とすると
an+2=2an+1+3(n+1)
ー ①から an+2- an+1
+1=2(an+1-an)+3
bn=an+1-an とおくと bn+1=26+3
これを変形すると
bn+1+3=26+3)
また,① から
a2=2a1+3.1= 2.1+3=5
b1=a2-a1=5-1=4
よって
b1+3=7
ゆえに,数列{6„+3} は初項 7,公比2の等比数列で
bn+3=7.2"-1
で
よって
bn=7.2"-1-3
数列 {b,} は数列 {a} の階差数列であるから, n≧2のとき
n-1
=1+(7.2k-1-3)=1+
7(2n-1-1)
-3(n-1)
2-1
k=1
=7.2"-1-3n-3
初項は α = 1 であるから, ③はn=1のときにも成り立つ。
したがって a,=7.2"-1-3n-3
別解 b„=7.2"-1-3 を求めた後は,次のようにしてa を求めて
い。
b=7.2"-1-3から
an+1-an=7.2"-1-3
n
これに an+1=2+3n を代入して
(20+3n)-am=7.2"-1
よって
an=7.2"-1-3n-3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

正しくは
初項「1」、公比2の等比数列のn-1頂目までの和に
7をかけたもの
です
Σ [k=1〜n-1] 2ᵏ⁻¹ = 2⁰+2¹+2²+2³+……+2ⁿ⁻²
だから初項は2⁰=1です

so

n≧2という条件から1項目は2^1にはならないのでしょうか？

和

あくまで2ᵏ⁻¹という式において
kを1からn-1まで変えるという話だから、
最初は2ᵏ⁻¹にk=1を代入して2⁰でしかないです
いまの話にn≧2はなんの関係もないでしょう？

so

ありがとうございます🙇✨
理解出来ました💦

so

理解はできたんですがn-1乗の時は初項と公差は同じにならないと覚えたらいいですかね💦

和

そう考えるのは自由ですけど、
上にΣ [k=1〜n-1] 2ᵏ⁻¹ = 2⁰+2¹+2²+2³+……+2ⁿ⁻²
と書いたように、頭の中ででも紙に書くのでもいいから
書き並べればすぐわかることです

so

ありがとうございます🙇✨