Question

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この問題のコで、3ページのような式はどこから求めるのでしょうか、、？
5を並行移動したのが4というのは書いてあるので分かるのですが、急にこの式が出てきてわからないです。。
解説お願いします

第4問~第7問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。
ここで,
オ
第7問 (選択問題)(配点 16)
焦点の座標 (p, 0),
のときの楕円は,長軸の長さ
短軸の長さ
H
コ
[1] 太郎さんと花子さんは, 2次曲線の性質について話している。 2人の会話文を
0である。
また,
に シ
のときの双曲線の漸近線は, 直線 y=±
だけ平行移動したものである。
サ
xをx軸方向
イ
エ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。 )
読んで,下の問いに答えよ。
太郎:楕円は、2定点F,F′からの距離の和が一定である点Pの軌跡だよね
花子: 2定点からの距離の差が一定なら双曲線になるよね。
太郎:放物線は、定点Fと,Fを通らない定直線からの
距離が等しい点の軌跡だよね。
花子: 楕円や双曲線の定義と放物線の定義は設定が違うね。
太郎: 定点FとFを通らない定直線からの距離の比が一
定という設定にした場合どうなるか調べてみよう。
(1) F(c, 0), F'(-c, 0) のとき, 2定点F, F' からの距離の和が2aである楕円の
方程式は
・
62
=1 ただし,62
ア の解答群
a²+c²
a²-c²
②√a²+c²
(2) 太郎さんと花子さんは定点と定直線からの距離の比が一定という設定にした場
合どうなるかを調べることにした。 すると,そのような設定の場合も2次曲線に
なり,比によって, 2次曲線の形が決まることが分かった。
p>0, r0 とする。 点 F (p, 0) からの距離とy軸からの距離の比が1で
ある点P(x, y) の軌跡の方程式を求めると、
x+ye-
=0
となるから
オ
のとき、楕円を表し、
カ
のとき, 放物線を表し、
キのとき,双曲線を表す。
(数学Ⅱ・数学Bの第7問は次ページに続く。)
Þ
① 2p
② p²
③
2p²
④ (1+m²)
⑤ (1-2) 6 (1-r)
22-1
⑦
オ
キ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。 )
r>1
① 0 <r<1 (2) r=1
ク
コ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
2pr
2pr
(0
2pr
2pr
1-2
1+2
√1+2
√1-22
(1+m2)
p(1-r²)
p(1+m²)
p(1-r²)
1-2
1+2
⑥
√1-22
√1+22
サ
シ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
+1
②
Þ
1-2
1+re
(数学Ⅱ・数学B・数学C第7問は次ページに続く。)

う!
マークシー
せん。)
[1]
(第7問)
平面上の曲線/複素数平面
速効
アプローチ
◆題意をつかみ, 解答方針を模索
する
最初の会話から, 定点と定直線から
の距離の比を用いて2次曲線の方程式を
求めようとしていることを読み取ろう。 2
次曲線では, 方程式の係数の値によって
曲線の形が異なる。 それぞれの曲線を
表す式の特徴に注意して条件を求めよ
う。 また, 平方完成による式変形によっ
て、2つの焦点を結ぶ線分の中点が原
点であるような曲線をどのように平行移
動したのかがわかる。 文字が多く、 複雑
な式となるが、自分で文字を置き直すな
どして式の形が見やすくなるように工夫
しよう。
・方程式 ③が楕円を表すとき, xと2の頭の係
数の正負は同じだから, 1-20
r>0より, 0 <r<1 (①) ・・・・・・オの (
は0だから, 1-r=0
r>0より, r=1 (②
(⑤ ① ②) ... イ, ウ, エの( )
0<r <1のとき, 01-r<1より,
と表されるから、この双曲線の漸近線は
pr
pr
A=
B:
とおくと, ④は、
-=0
√1-2
A'B'
つまり、
1.2
+
A
B = 1 (A>B> 0)
と表されるから、この楕円は、
12
+
A² B²
=1... ⑤
y=+ B'
AX
pr
/re-1 pr
re-1
-1x (①)
......サの
・方程式 ③が放物線を表すとき,x2の項の係数
・カの (
短軸の長さは2B=
・方程式 ③が双曲線を表すとき, x と y2 の項の
係数の正負は異なるから, 1-2 < 0
(1)
12
=1
b2
この楕円の焦点がF (c, 0), F' (-c, 0) だから,
√√√a²-b² = c + 1), b² = a²-c² (①)
r>0より, r>1 ( ...キの (答)
......アの (答)
√√√ p² ² — p² r² (1 — r²)
1-re
より、③の焦点は、(1)(0)
である。
図で題意をつかみ, 解答方針を
模索する
複素数平面の問題では計算で求めた
数値と複素数平面上での図の表し方や移
動の意味を結びつけて理解する必要が
ある。この問題では、の累乗につ
てド･モアブルの定理の利用を考えよう.
また, w が単位円に内接する正角形
の頂点の1つであることに着目し, 点
位置関係との累乗との関係を見抜
う。
A>Bより, 楕円 ⑤の長軸の長さは2A=
2pr
√1-2
をx軸方向にだけ平行移動したものである。
2pr
をx軸方向に
② ......シの (答)
だけ平行移動したものである。
1-2
[2]
である。 また,
速効
アプロー
pr
[br
√A2-B² =
(2)点Pからy軸に垂線PHを引くと,
YA
平行移動しても長軸と短軸の長さは変わらないから,
2pr
④の長軸の長さは
( ......クの (答),
①
P(x,y)
2pr
w = COS +isin-
2π
短軸の長さは
(③)
・・・... ケの (答)
√1-
また,③の焦点は⑤の焦点をx軸方向にア
のとき,ドモアプルの定理より,
2π
0
F(p.0)
PF=(x-p)2+y^ ...... ①
PH=|x| …2)
PF:PH=r:1より, PF = PH
両辺は0以上により, 両辺を2乗すると、
PF"="PH"
① ②を代入して、
(x-p)2+y2=rx
平成
(200
(1)(x)+
ここで,r=1のとき, 1-r2≠0 であるから,
③より,
だけ平行移動したものだから、
Dre
p(1+m²)
1-2
1-re
1-2
w=cos7. +isin7・
=cos2m+isin 2
=1
ここでw'=1より, 点w, we, wa w
pre
t
p(1-2)
1-re
1より
w, w' (1) を複素数平面上で図示-
単位円を7等分した正七角形の頂点とな
p²
1-2
+p=0
(p.0),
1-2
......コの (答)
また, r>1のとき1>0より,
(④)
+y=
1-2
pr
p>0, r>0より
B' =
A' =
とおくと, ④は,
n
2-1'
re-1
x2-2px+p2+y2=rx
(1-2)2/
1-2
(1)x2-2px+y+p=0 ③
p²-2
+
12
A'2
B'2
-=1
数学Ⅱ・数学B・数学C-9
・・・・・・・④
(A'> 0, B'> 0)
数学Ⅱ・数学B 数学 C-10

また、④の焦点は⑤の焦点をx軸方向に
Þ
1-re
だけ平行移動したものだから、
1-2 1-2
pr
+
p p(1+r)
=
1-2
pre
+
1-22 1-2
Þ p(1-2)
=
(p.0)(カ(+1.0) (
, (4)
1-r2
=pより
コの(答)