|z⁻-2|²+|z+2|²
=(z-2)(z⁻-2)+(z+2)(z⁻+2)
=(zz⁻-2z-2z⁻+4)+(zz⁻+2z+2z⁻+4)
=2zz⁻+8
=2|z|²+8
ここで
z⁴-z³+z²-z+1
=(-z)⁴+(-z)³+(-z)²+(-z)+1
であり、
-z=1は(-z)⁴+(-z)³+(-z)²+(-z)+1=0の解ではないから
z⁴-z³+z²-z+1=0の両辺に(-z)-1を掛けると
{(-z)-1}{(-z)⁴+(-z)³+(-z)²+(-z)+1}=(-z)⁵-1となるため
(-z)⁵-1=0
(-z)⁵=1
両辺に絶対値を取ると
|-z⁵|=1
|-z|⁵=1
|z|⁵=1
|z|=1
よって
|z⁻-2|²+|z+2|²
=2|z|²+8
=2×1²+8
=10
