Question

なほ

（2）の問題で、赤丸で囲ってある式がどこから出てきたのかと線が引いてある部分がどのように変形したらこのようになるのかが分かりません
教えてくれると嬉しいです🙇

練習
Step Up 310 第5章 指数関数と対
章末問題
173
(1)x1,y1xy'=8 のとき (10gsx) (logy) の最大値と
(2) αは定数で, a>1 とする. ax +y=2a のとき, 10gax +1oga(x+y) の最大値を求
めよ.また,そのときのx,yの値を求めよ.
(1)xy=8より、底2で両辺の対数をとると,
logzxy=log8
log2x+210gy=3
logzx=X, logy=Y とおくと, x1,y≧1より,
より、
X=logxlog1=0
Y=logxylog1=0
log2x+2logy = X +2Y=3
Y=3-X20
2
したがって, 0≤x≤3
(logzx)
(logy)
=XY
=X.3x
底が1より大きいので、不
号の向きは真数の大小と一致
(gol-1)=
00-1)=
0123 OF
==
9
8
0≦X≦3 のとき, グラフは
XYA
最大
8
最小
01 S=x.gol
O
3
3X
2
最小
X=212 のとき,log:x=2/2
03
右の図のようになる.
よって,
最大値,最小値 0
'8'
(2) 真数条件より, x>0,x+y>0
ax+y=2a より,y=2a-ax だから,
3
x=21=2√2
BY=2のとき,logzy="
x+y=x+(2a-ax)=2a-(a-1)x>0
より,y=24=18
このようにして,x,yの値
5
2a
α>1より, x<
a-1
2a
したがって, 0<x<-
......
…①
a-l
を求めることができる.
Ka-1>0
また, logax +1oga(x+y= logax (x+y)...... ②
x(x+y)=x{x+(2a-ax)}= (1-a)x2+2ax
まずはx(x+y) の最大値を
求める.ol
-(1-a)(x-a
+(x
a²
・3
a-l
a-1>0
2a
1-a<0, 0<<
だから, ①における
a-1
x(x+y) の最大値は,
a
a-1
したがって, logax(x + y) の最大値は, loga-1
よって、②より, 10gax +loga(x+y) の最大値は,
a²
a²
10ga
a-l
このとき,③より
a
x=-
a-l
y=2a-ax であるから,
底αが1より大きいので,真
数x(x+y)が最大のとき,
10gax (x+y) の値も最大と
なる.
gol
ol
a²
y=2a-
a-l

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

赤丸……
直前(1行上)の不等式から
　2a-(a-1)x>0
移項して
　-(a-1)x>-2a
a>1よりa-1>0 ∴-(a-1)<0
両辺を-(a-1)で割って
　x<2a/(a-1)

赤線……
直前の式を平方完成しています
平方完成の方法の詳細はまずご自身で
(1-a)x²+2ax
=(1-a)( x²+(2a/(1-a))x )
=(1-a)( (x+ a/(1-a))² -(a/(1-a))² )
=(1-a)(x+ a/(1-a))² -a²/(1-a)
=(1-a)(x- a/(a-1))² +a²/(a-1)

なほ

理解できました！ご丁寧にありがとうございます🙇