Question

りり

解答の(ⅱ)の8行目に出てきた3(k+1)/[(k+1)+2]
についてです。この式を持ち出す理由を考えてみましたが、実際のところどうなのでしょうか。

(理由)
(ⅱ)の5行目〜6行目にある不等式の右辺ではk+2をkやk+1で表したいため、右辺よりも同じか小さい値の式を
kやk+1で表せられる式を作りたいから。

また、解説の1行目の不等式にn=k+1を代入した不等式にすることを目標に証明したいという気持ちがあるから。

★
A 6 nを自然数とするとき,次の不等式を数学的帰
納法により証明せよ。
(1)/1/3+/1/2+1/+
+
3n
≥
n
n+2

【解答】
(1) 1/1+1/+1/3
3n
+ +
n+2
が任意の自然数nで成立することを,数学的帰納法に
より示す。
(i) n=1のとき
==
(①の左辺) (①の右辺) 1
=
より, 1 は成立する。
(ii) nk(kは自然数) のとき①が成立すると仮定
する。→割を長で長州を後
3k
1+1/+1/+1+1/22
1
両辺に
を加えて
k+1
1+1/+//++//+
3k
k+2
ここで,
=
3k
+
+
1
k+1
1
k+2 k+1
k(k-1)
1
k+1
れいと整数の式にしたい!
3(k+1)
(k + 1) + 2
(k + 1)(k + 2)(k+3)
AZ 1 z c
これまた狂のポ
v3 k
₤+2 of the
20 ( k ≥1)
なので
AZBAC
3k
1
~3 (k+1)
+
...③
k+2 k+1
(k + 1) + 2
②③より
Jux
3n
1+
+1/+1/
1
3(k+1)
ht
+ +
k+1 (k+1) +2
つまり, n=k+1のときも ① は成立する。
以上(iii)より、題意は示された。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ある人

(ii)はn=kが成り立つときn=k+1のときも成り立つことを証明するものです。8行目でn=k+1のとき不等式が成り立つことを証明しないと(ii)を証明できません。これは数学的帰納法の問題ですが、あなた様がどれくらいわかっているか私には分かりません。もしわからないことがあれば、教えてください。

数列

りり

今は数学的帰納法の基本の問題しか解いていない状況で、今までの基本問題みたいにn=k+1の時の不等式を作って、それを式変形することでkの式になるようにしようと考えていたので、なぜ両辺に1/(k+1)を加えるのか、なぜそういう発想になるのかがいまいちわからんくて。

ある人

写真の補足として、
両辺に1/(k+1)を加えるのは(ⅱ)と(ⅲ)の不等式の左辺が共通なので、右辺の大小を調べることができるからです。

説明するのが難しかったので、もしかしたらわからなかったかもしれません。分からなかったら教えてください。

りり

分かりました！ありがとうございます