Question

おにぎり

二枚目の写真のまるで囲ったところが分かりません

正の整数 N を3で割ったときの余りは2であ
る.
(1) 正の整数 a, b を3で割ったときの余りをそ
れぞれra, ro とする. ab=Nが成り立つと
き, ra, ro の組 (ra, r6) をすべて求めよ。
(2) N の正の約数の総和を3で割ったときの余
りを求めよ.
(3) N の正の約数の逆数の総和を1(ただし,
Þ
はともに正の整数で最大公約数は1で
ある)と表したときは3の倍数であるこ
とを示せ.例えば, N=14 のとき,Nの正の
約数は 1, 2, 7, 14 であり, 正の約数の逆数
の総和は
1+1/+1/+1=1
となり, 12は3の倍数である。
【配点】
(1) 12点
(2)16点 .
(3) 12点
《設問別学力要素》
大問 分野 内容
配点
小問
配点
知識
技能
思考力
判断力
表現力
6 整数
40点(1)
123
12
O
(2)
16
O
(3)
12
O
○
出題のねらい
整数を剰余で分類して考えることができるか,
約数の定義を理解し、正の約数の総和正の約数
の逆数の総和を考えることができるかを確認する
問題である.
→解答
(1)正の整数a, b は, d', ' を0以上の整数
として,
a=3a'+ra, b=36'+r

と表すことができる.このとき,
ab (3a+ra)(3b'+r)
=3(3a'b'+a'r + b'ra) +raro
であるから, ab を3で割ったときの余りは
rare を3で割ったときの余りと一致する.
ときの余りは
0.
(3)Nの正の約数の逆数の総和をT とすると、
T=
(2)のdy, dz,f, dm を用いて
+…+
+
d₁
1
ここで と は 0
<3,0≦x<3
を満たす整数であるから, Yaro を3で割った
ときの余りは次の表のようになる。
となる。
To
0 1 2
0
0
① より,k=1,2,3, nに対して
1 dn-k+1
0
0
dk
N
1
0
1
2
であるから, (2) の S を用いて,
2
0
2
1
T=-
Ždn-k+1
N=ab を3で割ったときの余りが2となる
条件は, rar を3で割ったときの余りが2と
なることであるから,上の表より, 求める余り
の組は、
N
N
=(dants=d=Sより)
と表せる。
(rar)=(1, 2), (2, 1).
p
(2) Nの正の約数を小さい順に,
d(=1), dz,...., dn-1, dn(=N)
( n は正の整数)
とし, N の正の約数の総和をSとする.
よって、Tを(ただし,gはとも
に正の整数で最大公約数は1)と表したとき,
s_g
N p
αがNの正の約数のときもNの正の
約数であるから, k = 1, 2, 3, ..., n に対し
a
162
pS=Nq.
...②
(2)の結果によりSは3の倍数であるから,
②の左辺は3の倍数であり、②の右辺 Ng も
3の倍数となる.このとき, 3は素数であるこ
とから,
dkxdnk+1=N
①
S
が成り立つ.
よって, dk, dn-k+1 を 3で割ったときの商
をそれぞれ gk, Qn-k+1 とおくと, (1) の結果に
より, k = 1, 2, 3, ..., n に対して,
Nは3の倍数,または, q は3の倍数
となり、条件より Nは3の倍数ではないか
gは3の倍数である。
|dk=3g+1,
|dk=3g+2,
または
[dn-k+1=39n-k+1+2
|d-k+1=3g-k+1+1
であるから,
dk+dn-k+1=3(gk+Qn-k+1+1)
=3Mk (Mk=gk+Qn-k+1+1)
とされる.
したがって,
2S = (dk+dn-k+1)
k=1
n
=3MK
k=1
より 2Sは3の倍数であり、2と3の最大公
約数は1であることより, Sは3の倍数であ
る。
よって, Nの正の約数の総和を3で割った
▷解説 <
まず, 整数の除法について確認しておく.
整数αと正の整数に対して、
a=bg+r,0≦x<b
を満たす整数 g, rがただ1通りに定まる.
g を 「αを割ったときの商」といい,
rを「αを6で割ったときの余り」という.
整数の除法の原理, 商と余り
(1)正の整数 α, bを3で割ったときの余りがそれ
Ya, Yo であるからαを3で割ったときの商
d', bを3で割ったときの商を'として
a=3a'+ra,b=36'+ro
と表すことができる. このとき, N は,
N=ab
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整数問題