Question

つづかな草

この漸化式の解法が理解できません(´・ω・｀)
2枚目の画像の方法でしかやったことがないので
こっちの方法でできるならこの方法でやりたいです。
回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

基本例
d
=1
例 37m+= panta
00000
型の漸化式
an+1=
an
によって定められる数列{an) の一般項を求めよ。
[類 早稲田大] 基本 34 重要 46 \
指針
Q+1=
an
panta
ーのように、分子がan の項だけの分数形の漸化式の解法の手順は
漸化式の両辺の逆数をとると
2
1=bm とおくと
1
Gn+1
·=p+-
9
an
bn+1=p+qb
bat1=ba+の形に帰着。
計
答
an
464 基本例題 34 と同様にして一般項 b が求められる。
また逆数を考えるために,(n≧1)であることを示しておく。
CHART
漸化式 an+1= am
pantg 両辺の逆数をとる
469
An+1=
an
4an-1
①とする。
①において, an+1=0とすると α = 0 であるから, α=0
となるnがあると仮定すると
an-1=an2=......=α=0
ところがα= 1/2(0)であるから,これは矛盾。
4a-05
a-1=0
これから an-2=0
以後これを繰り返す。
漸化式と数列
5
よって、すべての自然数nについて α0である。
①の両辺の逆数をとると
逆数をとるための十分条
件。
1
4
an+1
an
1
4a-1
A
An+1
an
両
両法
法
1
_=bm とおくと
bn+1=4-bn
an
これを変形すると
bn+1-2=-(b-2)
計算
1
また
b1-2=
-2=5-2=3
や
ai
ゆえに、数列 {bm-2} は初項3, 公比-1の等比数列で
n-1
bm-2=3(-1) すなわち bm=3(-1)"'+2
したがって
an=
1
1
bn3.(-1)"'+2
特性方程式
α = 4-α から α=2
b= という式の形か
1
an
5 b=0
NC
国分数形の漸化式 α+1=
rants
(s0) の場合については, p.484, 485 の重要例題 46,
pantg
47で扱っている。
37 = 1, an+1=
3an
6an+1
によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
C:-1 buii+1=3(bit1)

項を求め
68
78 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を,b=
2次方程式+px+g=
式を ①②の形に変形し
1 とおくことにより求めよ。
(1) a1=1, n+1=
Q.20で、
a
a1
anti=
0だと分数にならないから
Qu
これが逆数をとれば
antl
am
a.+1
an
an
ということ
から
antl
差11の等麦
仮定する!!
10時まではやる!
bm-1+(n-1)
a.tl
>o
2
✓といえる
bn=h
以下すべての内において同様an>O.
bn
よって0m=0からAm=
an
bra
am
より
Qrt 1
の逆数が取れ.
h
an
Anti
1
anti
an
n
bn=
a
(2)*
20m+
+
.3
An
Q
an
antl すなわち
一とおくと、bn+1=1+bm」
a
(2012.8.1=204320nt3
an+1
A. >09" Anti
2a+3
an an
20m+3から、
G2=1.2.2+3=50
以下すべての食器と同様にGm=0.
5.2 An #0p5. Au+1=
120m+3
anti
Amel
こ
an
2+bm.3
bmail = 2+36m
ati bnをCとかく
an
A
antl
Ant
<bm=
2+
an
.3
butle Chec
するとCh+1=3Cn
また6.2.
Cn- 3.3"-1 Cn-3"
but 1. Calon but I
bm=3-1
b. a. 14 an
1:3
an
3-1
1=2+3CC=-1buti+1=3(bit1)

漸化式 逆数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

最初のa{n}>0の証明のところでしょうか？
であれば2枚目の画像の証明は少し不十分ですし、それを1枚目の画像でそのまま使うことはできません

まず2枚目の不備について、(1)を例にとって解説します
　a{1}>0なので、a{2}=a{1}/(a{1}+1)=1/2>0
の部分ですが、a{1}/(a{1}+1)=1/2とせず、いきなりa{1}/(a{1}+1)>0としてください。(分母分子がそれぞれ正なので全体も当然正です)
というのも、
　a{1}>0 ⇒ a{2}>0 ⇒ a{3}>0 ⇒…
と続けていけば「同様に」が「1個前が正だから次も正」という意味になりますが、a{1}に具体的な値1を代入してしまうと、
　a{1}=1 ⇒ a{2}>0 ⇒ a{3}>0 ⇒…
となり、「同様に」が「1個前が1だから次が正」を表します。しかし、a{2}≠1なので「1個前が1だから次が正」は2個目から3個目を示すときには使えません

これを踏まえて1枚目の画像の問題を見てみると、分母が4a{n}-1で、引き算が含まれています。引き算が含まれていると、a{n}が正だからといって4a{n}-1が正とは限りません(例えばa{n}=0.1のとき4a{n}-1=-0.6)
よって、先程のロジックが成り立ちません。

2枚目の画像のやり方はそのままでは不十分ですし、正しく書いたとしても使えない場合がありますが、1枚目はいつでも使えるので1枚目のやり方を習得しちゃうのが楽です

1枚目は背理法を用いています。大まかに言えば以下の流れです

　一つでも0がある⇒すべて0になる
　↑　　　　　　　　↑a{1}が0でないことに矛盾
ここが間違い