数学
高校生
解決済み

常用対数
(2)が分かりません( ˘•ω•˘ ).。oஇ
そもそも何進数っていう言葉の意味や考え方からあんまり理解できてないのでそこについても説明していただけるとありがたいです😭
ご回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

304 基本 例 189 常用対数と不等式 logo3 0.4771 とする。 (1)3が10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。 00000 (類福岡工 (2) 3進法で表すと100桁の自然数Nを, 10進法で表すと何桁の数になるか 指針 (1)まず,3" が10桁の数であるということを不等式で表す。 (2) 進数Nの桁数の問題 不等式数 N <数の形に表す ・・・・・・チャート式基礎からの数学A 基本例題 150参照。 に従って、問題の条件を不等式で表すと 3100 1 N <3100 ......① 10進法で表したときの桁数を求めるには, 不等式① から, 10″N < 10" の形を導 きたい。そこで,不等式① の各辺の常用対数をとる。 各辺の常用対数をとると (1)3" が 10桁の数であるとき 10°31010 解答 9≤n log103<10 ゆえに 9≦0.4771n<10 9 10 よって ≤n<⋅ 0.4771 0.4771 したがって 18.8n<20.9...... この不等式を満たす最小の自然数nは n=19 Nがn桁の整数 →10-1≤N<10° 基本 A 町 比べ 合. ただ 解 B (2)Nは3進法で表すと100桁の自然数であるから 3100-1100 すなわち 399 N < 3100 各辺の常用対数をとると 9910g10 3 log10N <10010g103 99×0.4771 ≦log10N <100×0.4771 47.2329 ゆえに すなわち log10N <47.71 よって 1047.2329 N1047.71 ゆえに 1047 <N<1048 この不等式を満たす自 数は, n=19, 20である が,「最小の」という条 があるので, n=19 したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。 別解 10g103=0.4771 から 100.4771=3 ゆえに, 3% N <3400 から (1004771) ≤N < ( 100.4771) 100 1047.2329 N1047.71 よって ゆえに 1047 <N<1048 したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。 <p=logaM⇔d=" 練習 log102=0.3010, log103=0.4771 とする。 189 (1) 小数で表すとき, 小数第3位に初めて0でない数字が現れるような自 然数nは何個あるか。 〔類 北里大) (2) logs 2 の値を求めよ。 ただし, 小数第3位を四捨五入せよ。 またこの結果を 利用して, 4' を9進法で表すと何桁の数になるか求めよ。
常用対数

回答

✨ ベストアンサー ✨

昔は数Aの整数でn進数を扱っていたのですが、今は習わないのでしょうか?解説はしますが、動画も貼っておきます。
https://youtu.be/r4wHl39JVB8?si=ON8hAzJOzqQCfwe2

いきなり100桁は難しいので小さな数で考えます。例えば、10進数で3桁の数は、100以上1000未満、すなわち10²以上10³未満です。同じように、3進数で3桁の数も10進数でいうところの3²以上3³未満です。あんまりイメージしにくいかもしれませんが、3進数の3桁の最小は1,2,10,11,12,20,21,22の次の100であり、これが10進数では9番目(数えたらわかる)、同じように数えたら3進数の3桁の最大値222が27-1番目だということです。

3進数で100桁ということは、10進数でいうところの3の99乗以上3の100乗未満であるということです。これを数式で表すと
3⁹⁹≦n<3¹⁰⁰
です。ここまで来たら対数の問題です。
指数が面倒なので、常用対数を取ると
log₁₀3⁹⁹≦log₁₀n<log₁₀3¹⁰⁰
99log₁₀3≦log₁₀n<100log₁₀3
log₁₀3=0.4771を使うと
47.2329≦log₁₀n<47.71
であり、これを指数に直すとnは10の47.2329乗以上10の47.71乗未満だとわかります。47点いくつのときは結局48桁なので、いつでも48桁だとわかります。

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