Question

ゲストッ

マーカーの部分で、なぜf(x)=mx+nが重解s,tを持つならばf(x)-(mx+n)=(x-s)²(x-t)²と表せるのかが分かりません💦
どなたか教えていただけないでしょうか🙇‍♂️🙇‍♂️

BE
340
演習 例題 222 4次関数のグラフと2点で接する直線
0000
関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
[類 埼玉大]
演習
曲線 C
けると
指針▷ 次の1~3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。 3 の考え方で解いておし
解答
① 点 (t, f(t)) における接線が, y=f(x) のグラフと点(s, f(s) で接する。
②点(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
③y=f(x)のグラフと直線 y=xnがxmlの点で接するとして
f(x)=mx+n が 重解 s, tをもつ。 →
f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-1)
US
y=x(x-4)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=t
(s≠t) の点で接するとすると, 次のxの恒等式が成り立つ。
x(x-4)-(mx+n)=(x-s)(x-t)
(左辺)=x-4x-mx-n
大
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2
=x*+(s+t)'x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x-2(s+t)x+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+s2t2
両辺の係数を比較して
YA
指針 3
CHA
解
y=32
おける
すな
この
f(t)
-4=-2(s+t)
①から
......
①,0= (s+t)2+2st
m=-2(s+t)st
3,-n=s²t²
下の別解 は,指針の①
......
④
え方によるものである。
s+t=2
これと②から
st=-2
f(t
③から
m=-8
④から
n=-4
(8x) (S+x)
f(t)
s, tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと
u=1±√√3
s≠tを確認する。
よって,y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+/3の点
で接する直線があり、 その方程式は
y=-8x-48-³ (s+y)=x="
別解y=4x-12x2 であるから,点(t, t(t-4)) における接線の方程式は
y-t(t-4)=(4t3-122)(x-t) すなわち y=(4t3-12t2)x-3t+8t3
この直線がx=s(s≠t) の点でy=x(x-4) のグラフと接するための条件は, 方程式
x-4x=(4t-12t2)x-3t+8t3 tと異なる重解s をもつことである。
(x-t)^{x2+2(t-2)x+3f8t}=--=
これを変形して
よって, x2+2(t-2)x+3t2-8t=0
Aが, tと異なる重解sをもてばよい。
Aの判別式をDとすると
D=(t-2)-1-(3f-8t)=-2-21-2)
D=0 とすると 2-2t-2=0
これを解くとt=1±√3
3
t
(*
t=1±√3 はピー2t-2=0を満たし
-3+4+8t³=-(t2-2t-2) (3t2-2t+2)-4=-4
このとき,Aの重解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順) よって、stである。
At-12t2=4(t2-2t-2) (t-1)-8=-8/
x
ゆえに,(*) から y=-&-
練習
④
4 222
曲線 C: y=x4-2x-3x2 と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。

旧過程 青チャート 数ⅱ 例題222

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

詳しく書いたので、かえって分かりづらいかもしれません。
試験の答案で、こんなにたくさん書く必要はありません。
分からなければ訊いてください。

数学 数学2 微分 4次関数 4次関数のグラフと直線が異なる2点で接する問題

ゲストッ

丁寧なご回答をありがとうございます！やっと理解出来ました！一つだけ質問なのですが、このような表現はn次のグラフとm次のグラフについても同様に不都合なく成り立つのでしょうか？

フラッグ

一般のnやmだと抽象的なので、具体例で説明します。
遅くなってごめんなさい🙏

ゲストッ

全然遅くないですよ！むしろこんなに分かりやすく解説していただきありがとうございます！完全に理解しました！

フラッグ

よかったです。二学期(後期)頑張ってくださいね✊

ゲストッ

はい！！