Question

ほい

赤線のところの式変形がわかりません
もう一個わからないところがあってsin60°分のaってどこのことですか？

276
例題 170 正四面体の高さと体積
基本例
000
1辺の長さがαである正四面体 ABCD において, 頂点A から BCD
AH を下ろす。
(1) AH の長さんをαを用いて表せ。
(2) 正四面体 ABCD の体積Vをαを用いて表せ。
(3) 点Hから △ABCに下ろした垂線の長さをαを用いて表せ
許 (1) 直線 AH は平面 BCD 上のすべての直線と垂直であるから
AHIBH, AHICH, AHIDH
ここで, 直角三角形 ABH に注目すると
よって まずBH を求める。
AH=√AB2-BH
また,BHは正三角形 BCD の外接円の半径であるから, 正弦定理を利用。
(2)(四面体の体積)=1/12 (底面積)×(高さ)
HABC, HACD, HABDの体積は等しいことも利用。
(1) AABH, AACH, AADH
(3) 3つの四面体 HABC
いから、
(四面体 HABC
=(正四面
が成り立つ。
求める垂線の長さを
(四面体 HABC
1
3
また, (2) より 正
から,これらを
よって
x=
解答
はいずれも ∠H=90° の直角三
角形であり
AB=AC=AD, AH は共通
であるから
D
である。
直角三角形におい
辺と他の辺がぞ
等しいならば互い
検討
重心の性質を用い
正三角形におい
(1)のAH の長さ
なお, 重心につ
100B
H
三角形の
三角形の
△ABH=△ACH=△ADH
よって
BH=CH=DH
C
ゆえに、Hは ABCD の外接円の中心であり, BH は
H は BCDの
辺 CD の中点
ABCD の外接円の半径であるから, ABCD において、
(数学Aで詳しく
であるから
a
正弦定理により
=2BH-EL
sin 60°
ABCD は正三角
り、1辺の長さは
したがって
a
a
よって BH=
√3
a
FE
△ABHは直角三角形であるから,
2 √3
=
の内角は60°である
2sin60° 2
例題 170
A
三平方の定理により
h=AH=√AB2-BH?V
a
a
a²-
2 √√6
a
/3
3
3
B
a
H
√3
(2) ABCD の面積をSとすると
1
S=asin 60-√3a²
4
よって、正四面体 ABCD の体積Vは
1 √√3 √6
r=/13sh=13
V=
a².
a=
4
3
12
√2 a
であるこ
につい
また、
(ABCDの面積)
BC
BCBDsin40
いる(
練習 1辺の
③ 170
にお
(1)
17 (3)