Question

ゆる

テトナがわかりません。
答えに樹形図があったのですがいまいち理解ができませんでした…どなたか写真の樹形図の説明と書き方を教えてください。
すみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

第4問 (配点 20)
1個のさいころを繰り返し投げ,次の規則(a), (b) にしたがって箱の中の球の個数
(以下, 球数) を変化させる。 最初, 箱の中に球は入っていない。
(2) さいころを2回投げた後の球数のとり得る値は, 小さい方から順に
2, ウ
I
2回
であり,それぞれの値をとる確率は次のようになる。
規則
(a) 1回目に出た目が, 3の倍数のときは箱に球を1個入れ, 3の倍数でないと
きは箱に球を2個入れる。
b 2回目以降は次のように球数を変化させる。
出た目が3の倍数のときは箱に球を1個追加する。
出た目が3の倍数でないときは球数が2倍になるように球を追加する。
例えば, 1, 2, 3回目に出た目がそれぞれ 6, 3, 2ならば, 球数は
0個
→ 1個
+1
←
2個
4個
+1
×2
と変化する。
ア
(1) さいころを1回投げるとき, 3の倍数の目が出る確率は
である。
イ
(数学Ⅰ 数学A第4問は次ページに続く。)
球数
2
ウ
I
確率
13
オ
キ
カ
ク
ケコ
よって, さいころを2回投げた後の球数の期待値は
である。
また, さいころを2回投げた後の球数が エ
であったとき 2回目に出た目
シメ
が5である条件付き確率は
である。
スメ
(3) 球数が5以上になったところでさいころを投げることを終了するものとし, 終了
するまでにさいころを投げる回数をN とする。
ソタメ
Nの最小値は
であり, N=
となる確率は
である。
チツ×
テトX X
また,Nの期待値は
である。
X

第4問 場合の数 確率
さいころを1回投げるとき,
3の倍数の目が出る事象をE,
3の倍数でない目が出る事象をF
とする.
(1) 3の倍数の目は3と6であるから,
1
P(E)=
3
また,
P(F)=P(E)=1-P(E)=1/23.
(2) さいころを2回投げたときの球数の推移は, 規則 (a), (b) より次
の図のようになる. ただし, 矢印に添えた数は推移の確率を表
す。
10個
1個
12個
第1回
球数
2
3
4
2
4
確率
9
9
よって, さいころを2回投げた後の球数の期待値は,
2.1/23 +3.00 +4.101-
28
期待値
←
9
X=X1 X2 Xn
となる確率がそれぞれ
さいころを2回投げた後の球数が4であったとき 2回目に起
こる事象はFであるから 2回目に出た目は1, 2, 4, 5のいずれ
かである。 よって, 2回投げた後の球数が4であったとき 2回目
に出た目が5である条件付き確率は,
1
4
Pi PD
(pi+pot...+p=1)
のとき, Xの期待値は,
xib₁+xzPz++ xnn
次のように考えてもよい。
事象A, B を,
A: さいころを2回投げた後の球数
が4である
(3) 終了するまでの球数の推移は次の図のようになる. ただし, 矢
印に添えた数は推移の確率を表す.
B2回目に出たさいころの目が5
である
←
球数が1のとき, Eが起こると球数
20個
12個
と定めると、 求める条件付き確率は,
1. 2個
3個
→4個
5個
P(B)=P(AB)
P(A)
2個
3個
1+1=2
となり, Fが起こると球数は,
4個
1×2=2
さいころを2回投げた後の球数のとり得る値は,小さい方から
順に,
となるから, 球数が1から2に推移する
確率は,
2, 3
4
であり,それぞれの値をとる確率は次のようになる.
(i) 球数が2となるのは,
1回目に2回目にEまたはF
が起こるときであるから, その確率は,
11.1=1.
(i) 球数が3となるのは,
1回目にF 2回目にE
が起こるときであるから,その確率は,
2.1 2
-
() 球数が4となるのは,
1回目にF,2回目にF
が起こるときであるから,その確率は,
224
33 9
(i), (ii), () を表にまとめると次のようになる。
+3=1.
6個
8個
4個
5個
2個
3個
6個
4個
5個
8個
18個
よって, Nのとり得る値は, 3, 4, 5であるから,
Nの最小値は 3
である.
36
P(N=3)=
推移図より, N=3 となる確率 P(N=3) は,
2.12 2.2
333
333
3
16
27
N3 となるときの球数の推移は
0個 2個 3個 6個
または
0個 2個 4個 5個
または
さらに,推移図より, N=4,N=5 となる確率 P(N=4),
0個 2個 4個 8個

P(N=5) は,それぞれ
P(N=4)=1/3.1
12
1
21
+ 1.
22
+
·
3 3 3
21
333
+
3 3
33
1
2
.
+
°
3
21
3 3 3 3
23
13
1-3
1
1|3
+
13
13
333
い
次のように求めてもよい.
P(N=4)
=1-{P(N=3)+P(N=5)}
==
=1- (+1)
10
27
=
10
27'
P(N=5)=1/23
=
27.
よって, Nの期待値は,
10
27
3.16 +4.
27
3 3 3
+4.19 ・+5・・
31
1
27
9