重要
例題
64 ベイズの定理
00000
袋Aには赤球 10個, 白球 5個, 青球3個袋Bには赤球8個, 白球4個, 青球
16個袋Cには赤球4個 白球3個, 青球5個が入っている。
3つの袋から無作為に1つの袋を選び、その袋から球を1個取り出したところ白
球であった。それが袋から取り出された球である確率を求めよ。 基本63
指針
である。
袋Aを選ぶという事象をA, 白球を取り出すという事象をW とすると, 求める確率
P(WA)
は条件付き確率 P(A)=
P(W)
よって,P(W), P(A∩W) がわかればよい。 まず, 事象 Wを次の3つの排反事象
[1] Aから白球を取り出す。 [2] Bから白球を取り出す。 [3] Cから白球を取り出す
に分けて、P(W) を計算することから始める。 また P(AW)-P(A)P (W)
袋A, B, C を選ぶという事象をそれぞれA, B, C とし、複雑な事象
解答 白球を取り出すという事象をWとすると
P(W)=P(A∩W)+P(B∩W)+P(COW)
=P(A)P (W)+P(B)」(W)+P(C)P(W)
p=2.5 /1 4 1 3
+
+
3 18 3 18 3 12
5
54
排反な事象に分ける
<加法定理
<乗法定理
A
B
C
AnW BOW Cow
WS
54 27
2
1
=
-34+ 12/7+ 1/2-1/101
4
よって、求める確率は
Pw(A)= P(A∩W)_P(A)P (W)
5 1
10
=
÷
P(W)
P(W) 54 4
27
(
ベイズの定理
検討 上の例題から,Pw(A)=
P(A)P (W)
P(A)P^(W)+P(B)P₂(W)+P(C)Pc(W)
が成り立つ。
一般に、n個の事象 A1, A2,..., A. が互いに排反であり、そのうちの1つが必ず起こる
ものとする。 このとき, 任意の事象Bに対して、 次のことが成り立つ。
P(A)P(B)
P(A)=
P(A1)P, (B)+P(A2)Pi, (B)+....+P(A)P. (B)
(k=1, 2,......,n)
これをベイズの定理という。このことは、B=(AB)U(A∩B)U...... U (A0B) で、
AB, A2B,...... ABは互いに排反であることから,上の式の右辺の分母がP(B)
と一致し、 Pr (A)=
P(BA) P(A∩B)
P(B)
かつ P(A∩B)=P(A) PA, (B) から導か
P(B)
れる。
