(1)2xy-8=4y-x
両辺に2を掛けて式を整理すると
4xy+2x-8y-16=0
(2x-4)(2y+1)=12
x,yは正の整数なので、
2y+1>0かつ2x-4と2y+1は整数となるため、
(整数)×(整数)=12となるような整数の組は
(2x-4,2y+1)=(12,1)(6,2)(4,3)(3,4)(2,6)(1,12)
このときxとyの組は
(8,0)(5,1/2)(4,1)(7/2,3/2)(3,5/2)(5/2,11/2)
このなかでx,yが正の整数となるのは
(x,y)=(4,1)
(2)a,b,cは正の整数。
(ⅰ)1/a+1/b+1/c=1･･･①
a,b,cは正の整数でa≦b≦cなので
1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a
①より1≦3/a
aは正の整数なのでa≠0だから両辺にaを掛けると
a≦3
aは正の整数だからaは1,2,3のいずれか。
それぞれの場合におけるb,cの値について考える。
(Ⅰ)a=1のとき
①より1+1/b+1/c=1
1/b+1/c=0･･･②
b,cは正の整数なので1/b>0かつ1/c>0だから
1/b+1/c>0なので②は成り立たない。
よってa=1は不適。
(Ⅱ)a=2のとき
①より1/2+1/b+1/c=1
1/b+1/c=1/2
b,cは正の整数なので2bc≠0だから両辺に2bcを掛けると
2c+2b=bc
(b-2)(c-2)=4
(整数)×(整数)=4となるような整数の組は
(b-2,c-2)=(-1,-4)(-2,-2)(-4,-1)(1,4)(2,2)(4,1)
このときb,cの組は
(b,c)=(1,-2)(0,0)(-2,1)(3,6)(4,4)(6,3)
b,cは正の整数であり、a≦b≦cを満たすためa=2よりb,cの組は
(b,c)=(3,6)(4,4)
となる。
(Ⅲ)a=3のとき
①より1/3+1/b+1/c=1
1/b+1/c=2/3
b,cは正の整数なので3bc≠0だから両辺に3bcを掛けると
3c+3b=2bc
2bc-3b-3c=0
4bc-6b-6c=0
(2b-3)(2c-3)=9
(整数)×(整数)=9となるような整数の組は
(2b-3,2c-3)=(-1,-9)(-3,-3)(-9,-1)(1,9)(3,3)(9,1)
b,cは正の整数であり、a≦b≦cを満たすためa=3よりb,cの組は
(b,c)=(3,3)となる。
以上(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)より求めるa,b,cの組は
(a,b,c)=(2,3,6)(2,4,4)(3,3,3)
(ⅱ)abc=a+b+c･･･③
0≦a≦b≦cのときのa,b,cの値を考えてみる。
a+b+c≦3cなので
③よりabc≦3c
cは正の整数なので両辺をcで割ると
ab≦3
a,bは正の整数であり0≦a≦b≦3なのでこれを満たすようなa,bの組を求める。
(a,b)=(1,1)(1,2)(1,3)
それぞれの場合におけるcの値について考える。
(Ⅰ)(a,b)=(1,1)のとき
③より1+1+c=c
これを満たすようなcの値は存在しないので不適。
(Ⅱ)(a,b)=(1,2)のとき
③より1+2+c=2c
c=3
このときcは正の整数かつ0≦a≦b≦cを満たしているので、求めるa,b,cの組は
(a,b,c)=(1,2,3)
(Ⅲ)(a,b)=(1,3)のとき
③より1+3+c=3c
c=2
このとき(a,b,c)=(1,3,2)となるので
0≦a≦b≦cを満たさないので不適。
以上(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)より求めるa,b,cの組は
(a,b,c)=(1,2,3)
次にa≦b≦c以外の場合について考える。
このときa,b,cの組は(a,b,c)=(1,2,3)を大小関係を定めずに並べ替えたものになるので
求めるa,b,cの組は
(a,b,c)=(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)